Infinite dimensional cycles associated to operators 作用素に付随した無限次元サイクル

博士論文

主論文は、operatorに付随する無限次元cycleの理論の構成と、その変分問題への応用について論じたものであり、無限次元空間（一般に、関数空間）の上に定義された作用素に付随する無限次元のcycleの存在を証明し、これら無限次元cycle達の間の評価を与え、さらに、Dirac作用素に対してこれらのcycleとemstimateに対して詳細な計算を行ったものである。参考論文[2][3]は、主論文で展開された理論が、変分問題、Yang-Mills field或はWeistein Conjectureにおいて、有用であることを示したものである。副論文[1]は、主論文の結果と証明の要約である。無限次元空間によってparametrizeされた作用素族からは、いろいろなcyclesが導かれるが、一般には位相不変量と対応付けられない。たとえば、作用素の解全体は退化したbundleを形成するが、これから導かれるcyclesは位相不変量に対応しない。このような状況に対して、主論文では、この解のなす”bundle”の構造を表す位相不変でないcycle（solution cycleと呼ぶ）が、実は、Atiya-Singerのindex theoremに対応する位相不変なcycle（index cycleと呼ぶ）で評価できることを証明した。さらに、この理論を4次元球面上のmassless coupled Dirac Operatorsに対して適用して、対応するcycleを、index cycleの位相不変性を利用して計算し、non-trivialityを証明した。これまでこのような研究はほとんど無く、さらに変分問題に応用されることは皆無であったが、参考論文[2]、[3]において初めて、主論文において創始された無限次元cycle理論が、変分問題であるWeinstein Conjecture等に有用であることが示された。主論文によって得られたcycle理論の別の応用として、参考論文[2]においては、Riemann Surface上のYang-Singer理論との関連が論じられている。具体的には、この論文では、Operatorの族として、Cauchy-Riemann Operatorの族を考察し、そのOperatorの族から得られるcycleの不変性が証明されている。参考論文[3]は、Plais-Smale条件が崩壊する変分問題において、主論文の理論が有効であることを示したもので、Contact Manifold上のRieb Filedの閉軌道の存在問題に現れる無限次元cycleの構成と、その有用性を考察した。実際、loop spaceをparameterに持つあるOperatorの族を考え、この族に対して、無限次元cycle理論を応用することによって、Palais-Smale conditionが崩壊する部分を解析した。具体的には、この論文においては、Weinstein Conjectureへの応用が論じられている。このWeinstein予想というのは、contact manifold上のcharacteristic field（一種のHamiltonian field）には、少なくとも一つ、closed orbitが存在することを主張したものであり、本質的には、言わゆるPalais-Smale condition（一種のcompactness）が崩壊する変分問題である。これまでは、Floerらによって、このPalais-Smale conditionが満たされる場合の結果がある。しかし、一般に予想を解くためには、どうしてもPalais-Smale conditionが満たされない場合を扱わなければならず、結局、山辺問題等と同等の困難さに出会うことになってしまうのである。この困難を解消するために、loop spaceをparameterに持つあるOperatorの族を考え、この族に対して、主論文の無限次元cycle理論を応用することによって、Palais-Smale conditionが問題になる部分を解析することができると言うことが、この論文において示された。

名古屋大学博士学位論文 学位の種類:理学博士 (論文) 学位授与年月日:平成4年3月25日