Interchanging a limit and an integral: necessary and sufficient conditions

• 上東, 貴志

抄録

Let $\{f_{n}\}_{n \in \mathbb {N}}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> be a sequence of integrable functions on a σ -finite measure space $(\Omega, \mathscr {F}, \mu )$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:math> . Suppose that the pointwise limit $\lim_{n \uparrow \infty } f_{n}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>↑</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> exists μ -a.e. and is integrable. In this setting we provide necessary and sufficient conditions for the following equality to hold: $$ \lim_{n \uparrow \infty } \int f_{n} \, d\mu = \int \lim_{n \uparrow \infty } f_{n} \, d\mu. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:munder> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>↑</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:munder> <mml:mo>lim</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>↑</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace /> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math>

収録刊行物

• Journal of Inequalities and Applications

  Journal of Inequalities and Applications 2020 (1), 243-243, 2020-11-16

  Springer

キーワード

• σ-finite measure space
• Integrable functions
• Vitali convergence theorem
• Uniform integrability

詳細情報

• CRID: 1050012570391885312
• NII論文ID: 120006938936
• DOI: 10.1186/s13660-020-02502-w
• ISSN: 1029242X
• HANDLE: 20.500.14094/90007651
• Web Site: http://link.springer.com/content/pdf/10.1186/s13660-020-02502-w.pdf
• Web Site: http://link.springer.com/article/10.1186/s13660-020-02502-w/fulltext.html
• 本文言語コード: en
• 資料種別: journal article
• データソース種別:
  • IRDB
  • Crossref
  • CiNii Articles
  • KAKEN