Maß- und Integrationstheorie
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Maß- und Integrationstheorie
（Hochschultext）
Springer-Verlag, c1987
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Description and Table of Contents
Description
Gute Kenntnisse in Mass- und Integrationstheorie sind unerlasslich fur fast alle Bereiche der hoheren Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Physik. In dem vorliegenden Lehrbuch wird diese Theorie von den allerersten Anfangen - Was soll eine Inhaltsmessung eigentlich leisten? - systematisch bis zur Theorie der Radonmasse entwickelt. Besonderer Wert ist auf ausfuhrliche Motivationen der neu eingefuhrten Begriffe gelegt. Dem Zugang von L. Schwartz folgend werden Radonmasse auf beliebigen topologischen Raumen behandelt, wodurch der Rieszsche Darstellungssatz sehr allgemein und ubersichtlich bewiesen werden kann. Den Bedurfnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie wird durch die Behandlung von Massen auf unendlichen Produkten (Produktmasse, Satz von Kolmogoroff) angemessen Rechnung getragen.
Table of Contents
- I. Grundlagen der Mass- und Integrationstheorie.- I.1 Masstheorie: Das Programm ?-Algebra, Messraum, erzeugte ?-Algebra, Mass, Massraum, Stetigkeit von Massen
- Aufgaben.- I.2 Masstheorie: Die Verwirklichung des Programms Ring, Figuren, Pramass, Mass-Fortsetzungssatz, Dynkin-System, Lebesgue-Borelmass, vollstandige Masse, Lebesguemass
- Aufgaben.- I.3 Integrationstheorie: Das Programm Programm einer "gewichteten Inhaltsmessung".- I.4 Integrationstheorie: Die Verwirklichung des Programms MeBbare Funktionen, Permanenzeigenschaften, Elementar- Funktionen, Integral, Satz von der monotonen Konvergenz (B. Levi), integrierbare Funktionen
- Aufgaben.- II. Die fundamentalen Satze der Masstheorie.- II.1 Einige vorbereitende Begriffsbildungen Nullmengen, fast uberall, Masskonvergenz
- Aufgaben.- II.2 Konvergenzsatze Fatous Lemma, Satz von der dominierten Konvergenz (Lebesgue), Egoroffs Theorem
- Aufgaben.- II.3 Masse mit Dichten, der Satz von Radon-Nikodym Dichten, Absolutstetigkeit, Theorem von Radon-Nikodym, paar- weise singular, Lebesguescher Zerlegungssatz
- Aufgaben.- II.4 Masse auf Produkten, der Satz von Fubini Produkt-?-Algebra, 1 ? 2, Cavalieri-Prinzip, Satz von Fubini, MaBe auf unendlichen Produkten, vertragliche Familie von MaBen, kompakte Klasse, Satz von Kolmogoroff
- Aufgaben.- II.5 Signierte Masse und Zerlegungssatze Signierte Masse, Hahn-Zerlegung, Jordan-Zerlegung, Variation
- Aufgaben.- II.6 Bildmasse Bildmass, Integrationstheorem fur Bildmasse
- Aufgaben.- II.7 Zusammenfassung.- III. Masse auf dem IRP, Riemann contra Lebesgue 136.- III.1 UEberblick Ergebnisse zu Borel-Lebesguemass und Lebesguemass.- III.2 Lebesgue-Stieltjes-Masse Lebesgue-Stieltjes-Mass, MaBerzeugende Funktion
- Aufgaben.- III.3 Riemann contra Lebesgue Vergleich Riemann- und Lebesgueintegrale, Charakterisierungssatz fur Riemann-Integrabilitat
- Aufgaben.- IV. Raume messbarer Funktionen.- IV.1 Die. Raume Lp(S,A,,) fur 1 ? p ? ? Zur p-ten Potenz integrable und im wesentlichen beschrankte Funktionen, die Raume Lp (S,A,), Hoeldersche und Minkowskische Ungleichung, die Lp(S,A,), Vollstandigkeit der Lp(S,A,) (Riesz), Separabilitat
- Aufgaben.- IV. 2 Die Dualraume der Raume Lp(S, A,) Dualraum eines Banachraums, Nachweis von (Lp)'= Lq fur 1 < p < ?
- Aufgaben.- IV.3 Lokalisierbarkeit und der Dualraum von L (S,A,) Neue Definition des L?, lokale Nullmengen, lokale Messbarkeit, lokalisierbare Messraume, Lokalisierungssatz von Segal-Kelley, strikt lokalisierbare Massraume
- Aufgaben.- V. Masse auf topologischen Raumen.- V.1 Borelmengen, Regularitat und Radonmasse innere und aussere Regularitat, Borelmengen, straffe Maae, Radonmasse, polnische Raume
- Aufgaben.- V.2 Der Fortsetzungssatz von Choquet.- V.3 Der Rieszsche Darstellungssatz und die Bestimmung von Dualraumen Trager einer Funktion, Rieszscher Darstellungssatz, Trager eines.- Radonmasses, Rieszscher Darstellungssatz fur alle stetigen Funktionen bzw. alle stetigen beschrankten Funktionen, Dualraum von CK (K kompakt)
- Aufgaben.- Anhang I: Souslinmengen (allgemeine Eigenschaften) Baum, Souslinmengen, F-Kapazitat, kompakte Klasse, ?1 (L ? 8) c L.- Anhang II: Existenz von Souslinmengen Existieren echte Souslinmengen, ?1 (Borel) = Souslin.- Zeittabelle.- Lebensdaten einiger fur die Masstheorie relevanter Mathematiker.- Literatur.- Bezeichnungen.- Register.
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