Maß und Kategorie

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Maß und Kategorie

[von] J.C. Oxtoby : aus dem Englischen übersetzt von K. Schürger

（Hochschultext）

Springer-Verlag, 1971

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Measure and category

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Measure and category

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Bibliography: p. [107]-108

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内容説明・目次

内容説明

Dieses Buch behandelt hauptsachlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel fur Existenzbeweise sowie Die "Dualitat" zwischen Mass und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erlautert; die Analogie, die zwischen Mass und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einfuhrung in die Grundlagen der metrischen Topologie; ausserdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Masses hergeleitet. Es zeigt sich, dass die Lebesguesche Integrationstheorie fur unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern dass das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Masstheorie und Topologie eingefuhrt; dies geschieht jedoch nicht nur der groesseren Allgemeinheit wegen. Es erubrigt sich fast zu erwahnen, dass sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Fur die hier untersuchten Probleme bietet sich in naturlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einfuhrung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man koennte es als Erganzung zur ublichen Grundvorlesung uber reelle Analysis, als Grundlage fur ein Se minar oder auch zum selbstandigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit. Haufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten.

目次

  • 1: Mass und Kategorie auf der Zahlengeraden Abzahlbare Mengen
  • Mengen von 1. Kategorie
  • Nullmengen
  • die Satze von CANTOR, BAIRE und BOREL.- 2: Liouvillesche Zahlen Algebraische und transzendente Zahlen
  • Mass und Kategorie der Menge der Liouvilleschen Zahlen.- 3: Das Lebesguesche Mass im r-dimensionalen Raum Definitionen und grundlegende Eigenschaften
  • messbare Mengen
  • der Dichtesatz von LEBESGUE.- 4: Die Bairesche Eigenschaft Analogie zwischen Bairescher Eigenschaft und Messbarkeit
  • Eigenschaften regular offener Mengen.- 5: Nicht-messbare Mengen Vitalische Mengen
  • Bernsteinsche Mengen
  • Satz von ULAM
  • unerreichbare Kardinalzahlen
  • die Kontinuumhypothese.- 6: Das Spiel von BANACH-MAZUR Gewinnstrategien
  • Kategorie und lokale Kategorie
  • Spiele mit unbestimmtem Ausgang.- 7: Funktionen erster Klasse Oszillation
  • der Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen
  • Integrierbarkeit im Riemannschen Sinne.- 8: Die Satze von LUSIN und EGOROFF Stetigkeit messbarer Funktionen
  • Stetigkeit von Funktionen mit der Baireschen Eigenschaft
  • gleichmassige Konvergenz auf Teilmengen.- 9: Metrische und topologische Raume Definitionen
  • vollstandige und topologisch vollstandige Raume
  • der Kategorie-Satz von BAIRE.- 10: Beispiele fur metrische Raume Metrik der gleichmassigen Konvergenz und Integral-Metrik in Raumen stetiger Funktionen
  • integrierbare Funktionen
  • pseudo-metrische Raume
  • der Raum der messbaren Mengen.- 11: Nirgends differenzierbare Funktionen Banach's Anwendung der Kategorie-Methode.- 12: Der Satz von ALEXANDROFF Ummetrisierung einer G?-Teilmenge
  • topologisch vollstandige Teilraume.- 13: Transformation von linearen Mengen in Nullmengen Der Raum der Automorphismen eines Intervalls
  • der Effekt einer monotonen Substitution auf die Riemann-Integrierbarkeit
  • AEquivalenz von Nullmengen und Mengen von 1. Kategorie.- 14: Der Satz von FUBINI Messbarkeit und Mass von Schnitten ebener messbarer Mengen.- 15: Der Satz von KURATOWSKI-ULAM Schnitte von ebenen Mengen mit der Baireschen Eigenschaft
  • Produktmengen
  • Zuruckfuhrbarkeit auf den Satz von FUBINI vermoege einer Produkttransformation.- 16: Der Kategorie-Satz von BANACH Offene Mengen von 1. Kategorie oder vom Mass 0
  • das Lemma von MONTGOMERY
  • die Satze von MARCZEWSKI und SIKORSKI
  • Kardinalzahlen vom Mass 0
  • Zerlegung in eine Nullmenge und in eine Menge von 1. Kategorie.- 17: Der Wiederkehrsatz von POINCARE Mass und Kategorie der Menge aller Punkte, die rekurrent unter einer konservativen Transformation sind
  • Anwendung auf dynamische Systeme.- 18: Transitive Transformationen Existenz transitiver Automorphismen des Einheitsquadrats
  • die Kategorie-Methode.- 19: Der Dualitatssatz von SIERPINSKI-ERDOES AEhnlichkeiten zwischen der Familie der Nullmengen und der Familie der Mengen von 1. Kategorie
  • das Dualitatsprinzip.- 20: Beispiele fur Dualitat Eigenschaften Lusinscher Mengen und die dazu dualen Eigenschaften
  • Mengen, die fast-invariant unter Nullmengen- oder Kategorie-treuen Abbildungen sind.- 21: Das erweiterte Dualitatsprinzip Ein Gegenbeispiel
  • Produktmass und Produktraume
  • das Null-Eins-Gesetz und sein Kategorie-Analogon.- 22: Kategorie-Massraume Raume, in denen die Nullmengen mit den Mengen von 1. Kategorie identisch sind
  • Topologien, die von unteren Dichten erzeugt werden
  • die Lebesguesche Dichte-Topologie.

「Nielsen BookData」 より

関連文献： 1件中  1-1を表示

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