CiNii 図書 - Maß und Kategorie

Dieses Buch behandelt hauptsachlich zwei Themenkreise: Der Bairesche Kategorie-Satz als Hilfsmittel fur Existenzbeweise sowie Die "Dualitat" zwischen Mass und Kategorie. Die Kategorie-Methode wird durch viele typische Anwendungen erlautert; die Analogie, die zwischen Mass und Kategorie besteht, wird nach den verschiedensten Richtungen hin genauer untersucht. Hierzu findet der Leser eine kurze Einfuhrung in die Grundlagen der metrischen Topologie; ausserdem werden grundlegende Eigenschaften des Lebesgue schen Masses hergeleitet. Es zeigt sich, dass die Lebesguesche Integrationstheorie fur unsere Zwecke nicht erforderlich ist, sondern dass das Riemannsche Integral ausreicht. Weiter werden einige Begriffe aus der allgemeinen Masstheorie und Topologie eingefuhrt; dies geschieht jedoch nicht nur der groesseren Allgemeinheit wegen. Es erubrigt sich fast zu erwahnen, dass sich die Bezeichnung "Kategorie" stets auf "Bairesche Kategorie" be zieht; sie hat nichts zu tun mit dem in der homologischen Algebra verwendeten Begriff der Kategorie. Beim Leser werden lediglich grundlegende Kenntnisse aus der Analysis und eine gewisse Vertrautheit mit der Mengenlehre vorausgesetzt. Fur die hier untersuchten Probleme bietet sich in naturlicher Weise die mengentheoretische Formulierung an. Das vorlie gende Buch ist als Einfuhrung in dieses Gebiet der Analysis gedacht. Man koennte es als Erganzung zur ublichen Grundvorlesung uber reelle Analysis, als Grundlage fur ein Se minar oder auch zum selbstandigen Studium verwenden. Bei diesem Buch handelt es sich vorwiegend um eine zusammenfassende Darstellung; jedoch finden sich in ihm auch einige Verfeinerungen bekannter Resultate, namentlich Satz 15.6 und Aussage 20.4. Das Literaturverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit. Haufig werden Werke zitiert, die weitere Literaturangaben enthalten.

1: Mass und Kategorie auf der Zahlengeraden Abzahlbare Mengen
Mengen von 1. Kategorie
Nullmengen
die Satze von CANTOR, BAIRE und BOREL.- 2: Liouvillesche Zahlen Algebraische und transzendente Zahlen
Mass und Kategorie der Menge der Liouvilleschen Zahlen.- 3: Das Lebesguesche Mass im r-dimensionalen Raum Definitionen und grundlegende Eigenschaften
messbare Mengen
der Dichtesatz von LEBESGUE.- 4: Die Bairesche Eigenschaft Analogie zwischen Bairescher Eigenschaft und Messbarkeit
Eigenschaften regular offener Mengen.- 5: Nicht-messbare Mengen Vitalische Mengen
Bernsteinsche Mengen
Satz von ULAM
unerreichbare Kardinalzahlen
die Kontinuumhypothese.- 6: Das Spiel von BANACH-MAZUR Gewinnstrategien
Kategorie und lokale Kategorie
Spiele mit unbestimmtem Ausgang.- 7: Funktionen erster Klasse Oszillation
der Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen
Integrierbarkeit im Riemannschen Sinne.- 8: Die Satze von LUSIN und EGOROFF Stetigkeit messbarer Funktionen
Stetigkeit von Funktionen mit der Baireschen Eigenschaft
gleichmassige Konvergenz auf Teilmengen.- 9: Metrische und topologische Raume Definitionen
vollstandige und topologisch vollstandige Raume
der Kategorie-Satz von BAIRE.- 10: Beispiele fur metrische Raume Metrik der gleichmassigen Konvergenz und Integral-Metrik in Raumen stetiger Funktionen
integrierbare Funktionen
pseudo-metrische Raume
der Raum der messbaren Mengen.- 11: Nirgends differenzierbare Funktionen Banach's Anwendung der Kategorie-Methode.- 12: Der Satz von ALEXANDROFF Ummetrisierung einer G?-Teilmenge
topologisch vollstandige Teilraume.- 13: Transformation von linearen Mengen in Nullmengen Der Raum der Automorphismen eines Intervalls
der Effekt einer monotonen Substitution auf die Riemann-Integrierbarkeit
AEquivalenz von Nullmengen und Mengen von 1. Kategorie.- 14: Der Satz von FUBINI Messbarkeit und Mass von Schnitten ebener messbarer Mengen.- 15: Der Satz von KURATOWSKI-ULAM Schnitte von ebenen Mengen mit der Baireschen Eigenschaft
Produktmengen
Zuruckfuhrbarkeit auf den Satz von FUBINI vermoege einer Produkttransformation.- 16: Der Kategorie-Satz von BANACH Offene Mengen von 1. Kategorie oder vom Mass 0
das Lemma von MONTGOMERY
die Satze von MARCZEWSKI und SIKORSKI
Kardinalzahlen vom Mass 0
Zerlegung in eine Nullmenge und in eine Menge von 1. Kategorie.- 17: Der Wiederkehrsatz von POINCARE Mass und Kategorie der Menge aller Punkte, die rekurrent unter einer konservativen Transformation sind
Anwendung auf dynamische Systeme.- 18: Transitive Transformationen Existenz transitiver Automorphismen des Einheitsquadrats
die Kategorie-Methode.- 19: Der Dualitatssatz von SIERPINSKI-ERDOES AEhnlichkeiten zwischen der Familie der Nullmengen und der Familie der Mengen von 1. Kategorie
das Dualitatsprinzip.- 20: Beispiele fur Dualitat Eigenschaften Lusinscher Mengen und die dazu dualen Eigenschaften
Mengen, die fast-invariant unter Nullmengen- oder Kategorie-treuen Abbildungen sind.- 21: Das erweiterte Dualitatsprinzip Ein Gegenbeispiel
Produktmass und Produktraume
das Null-Eins-Gesetz und sein Kategorie-Analogon.- 22: Kategorie-Massraume Raume, in denen die Nullmengen mit den Mengen von 1. Kategorie identisch sind
Topologien, die von unteren Dichten erzeugt werden
die Lebesguesche Dichte-Topologie.

「Nielsen BookData」より

Maß und Kategorie

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