Analysis
著者
書誌事項
Analysis
（Grundwissen Mathematik, Bd. 3-4）
Springer, c1990-
2. Aufl.
- 1 : gw
- 1 : us
- 2 : gw
- 2 : us
大学図書館所蔵 件 / 全13件
-
該当する所蔵館はありません
- すべての絞り込み条件を解除する
内容説明・目次
内容説明
Das Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung f}r Funktionen von mehreren Ver{nderlichen. Dabei wird auchdas Lebesguesche Integral im Rn behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von Analysis I folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenh{nge, Ausblicke und die Entwicklung der Analysis gelegt. Zu denBesonderheiten, die }ber den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, geh|ren das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C (unendlich)-Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Die Grundtatsachen }ber die verschiedenen Integralbegriffe werden allesamt aus S{tzen }ber den Netzlimes abgeleitet. Bei den Fourierreihen wird die klassische Theorie in Weiterf}hrung einer von Chernoff und Redheffer entwickelten Methode behandelt. Zahlreiche Beispiele, ]bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab.
目次
1. Metrische Raume. Topologische Grundbegriffe.- 1.1 Der n-dimensionale euklidische Raum ?n.- 1.2 Konvergenz.- 1.3 Die Regeln von de Morgan.- 1.4 AEquivalenzrelation.- 1.5 Metrischer Raum.- 1.6 Konvergenz und Vollstandigkeit.- 1.7 Normierter Raum und Banachraum.- 1.8 Die Maximumnorm.- 1.9 Innenproduktraum und Hilbertraum.- 1.10 Der Hilbertsche Folgenraum l2.- 1.11 Innerer Punkt, Randpunkt, Haufungspunkt.- 1.12 Offene und abgeschlossene Mengen.- 1.13 Satz uber Inneres, Rand und abgeschlossene Hulle.- 1.14 Charakterisierung der abgeschlossenen Hulle.- 1.15 Metrischer Teilraum.- 1.16 Kompakte Mengen.- 1.17 Abstand zwischen Mengen. Umgebungen von Mengen.- 1.18 Orthogonalitat und Winkel im ?n.- 1.19 Unterraume und Ebenen im ?n.- 1.20 Gerade, Strecke, Polygonzug.- 1.21 Hyperebenen und Halbraume.- 1.22 Konvexe Mengen.- 1.23 Konvexe Funktionen.- Aufgaben.- 2. Grenzwert und Stetigkeit.- 2.1 Grenzwert und Stetigkeit.- 2.2 Schwankung einer Funktion. Limes superior und Limes inferior.- 2.3 Stetigkeitsmodul.- 2.4 Komposition stetiger Funktionen.- 2.5 Stetige vektor- und skalarwertige Funktionen.- 2.6 Polynome in mehreren Veranderlichen.- 2.7 Stetigkeit bezuglich einzelner Veranderlichen.- 2.8 Lineare Abbildungen.- 2.9 Stetigkeit und Kompaktheit.- 2.10 Extremwerte bezuglich einzelner Variablen.- 2.11 Satz uber die gleichmassige Stetigkeit.- 2.12 Satz uber die Stetigkeit der Umkehrfunktion.- 2.13 Das Halbierungsverfahren.- 2.14 Offene UEberdeckungen kompakter Mengen.- 2.15 Gleichmassige Konvergenz.- 2.16 Satz von Dini.- 2.17 Weierstrasssches Majorantenkritefium.- 2.18 Potenzreihen in mehreren Veranderlichen.- 2.19 Fortsetzung stetiger Funktionen.- 2.20 Landau-Symbole.- Aufgaben.- 3. Differentialrechnung in mehreren Veranderlichen.- 3.1 Partielle Ableitungen. Gradient.- 3.2 Graphische Darstellung einer Funktion. Hoehenlinien.- 3.3 Vertauschung der Reihenfolge der Differentiation.- 3.4 Der allgemeine Fall.- 3.5 Funktionalmatrix und Funktionaldeterminante.- 3.6 Hoehere Ableitungen. Die Klassen Ck.- 3.7 Lineare Differentialoperatoren.- 3.8 Differenzierbarkeit und vollstandiges Differential.- 3.9 Satz.- 3.10 Die Kettenregel.- 3.11 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 3.12 Richtungsableitungen.- 3.13 Der Satz von Taylor.- 3.14 Das Taylorpolynom.- 3.15 Die Taylorsche Reihe.- 3.16 Flache und Tangentialhyperebene.- 3.17 Die Hessematrix.- 3.18 Differentiation im Komplexen. Holomorphie.- 3.19 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen. Satz.- 3.20 Bewegung, winkeltreue und konforme Abbildung.- Aufgaben.- 4. Implizite Funktionen. Maxima und Minima.- 4.1 Fixpunkte kontrahierender Abbildungen.- 4.2 Einige Hilfsmittel. Lip-schitzbedingung im ?n.- 4.3 Das Newton-Verfahren.- 4.4 Implizite Funktionen.- 4.5 Satz uber implizite Funktionen.- 4.6 Umkehrabbildungen. Diffeomorphismen.- 4.7 Offene Abbildungen.- 4.8 Quadratische Formen.- 4.9 Maxima und Minima.- 4.10 Das Fermatsche Kriterium fur lokale Extrema.- 4.11 Hinreichende Bedingung fur ein Extremum.- 4.12 Extrema mit Nebenbedingungen.- 4.13 Lagrangesche Multiplikatorenregel.- 4.14 Corollar (Lagrangesche Multiplikatorenregel).- 4.15 Lokale Klassifikation von glatten Funktionen.- 4.16 Lemma von Marston Morse.- Aufgaben.- 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven.- 5.1 Gerichtete Menge und Netz.- 5.2 Der Grenzwert eines Netzes.- 5.3 Konvergenzkriterium von Cauchy.- 5.4 Reellwertige Netze.- 5.5 Monotone Netze.- 5.6 Das Riemann-Integral als Netzlimes.- 5.7 Netzlimes fur Teilintervalle.- 5.8 Konfinale Teilfolgen.- 5.9 Metrische Ordnung und Riemannsche Summendefinition des Integrals 149 Wege und Kurven.- 5.10 Weg und Kurve.- 5.11 Die Weglange.- 5.12 Die Weglange als Funktion von t.- 5.13 AEquivalente Darstellungen, Orientierung.- 5.14 Die Lange einer Kurve.- 5.15 Die Bogenlange als Parameter.- 5.16 Tangente und Normalenebene.- 5.17 Ebene Kurven, positive Normalen.- 5.18 Krummung und Krummungsradius.- 5.19 Ebene Kurven.- 5.20 Funktionen von beschrankter Variation.- 5.21 Darstellungssatz von C. Jordan.- 5.22 Satz uber Rektifizierbarkeit.- 5.23 Die Bewegungsgleichungen.- 5.24 Die Loesung des Zweikoerperproblems.- 5.25 Satz uber das Zweikoerperproblem.- 5.26 Eindeutigkeitssatz.- 5.27 Historisches zu den Keplerschen Gesetzen.- Aufgaben.- 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale.- 6.1 Das Riemann-Stieltjes-Integral.- 6.2 Eigenschaften des Riemann-Stieltjes-Integrals.- 6.3 Partielle Integration. Satz.- 6.4 Transformation in ein Riemann-Integral. Satz.- 6.5 Weitere Beispiele.- 6.6 Bemerkungen.- 6.7 Mittelwertsatze fur Riemann-Stieltjes-Integrale.- 6.8 Zweiter Mittelwertsatz fur Riemannsche Integrale.- 6.9 Kurvenintegrale bezuglich der Bogenlange.- 6.10 Eigenschaften von Kurvenintegralen.- 6.11 Anwendungen.- 6.12 Wegintegrale.- 6.13 Eigenschaften und Rechenregeln fur Wegintegrale.- 6.14 Vektorfelder.- 6.15 Bewegung in einem Kraftfeld.- 6.16 Gradientenfelder. Stammfunktion und Potential.- 6.17 Die Integrabilitatsbedingung.- 6.18 Nochmals Kraftfelder.- 6.19 Komplexe Wegintegrale.- 6.20 Integralsatz von Cauchy.- 6.21 Satz uber Stammfunktionen.- Aufgaben.- 7. Jordanscher Inhalt und Riemannsches Integral im ?n.- 7.1 Anforderungen an den Inhaltsbegriff.- 7.2 Zerlegungen eines Intervalls.- 7.3 Intervallsummen.- 7.4 AEusserer und innerer Inhalt. Jordan-Inhalt.- 7.5 Wurfelsummen.- 7.6 Quadrierbare Mengen. Satz.- 7.7 Produktmengen.- 7.8 Abbildungen von Mengen.- 7.9 Lineare Abbildungen 229 Das Riemann-Integral im ?n.- 7.10 Definition und einfache Eigenschaften des Integrals.- 7.11 Satz uber gliedweise Integration.- 7.12 Jordanscher Inhalt und Riemannsches Integral.- 7.13 Die Riemannsche Summendefinition des Integrals.- 7.14 Parameterabhangige Integrale.- 7.15 Iterierte Integrale. Der Satz von Fubini.- 7.16 Das Cavalierische Prinzip.- 7.17 Die Abbildung von Gebieten. Das Lemma von Sard.- 7.18 Transformation von Integralen. Die Substitutionsregel.- 7.19 Beispiele.- 7.20 Uneigentliche Integrale.- 7.21 Beispiele.- 7.22 Die Faltung.- 7.23 Approximation durch C?-Funktionen. Mittelwerte.- 7.24 Der Weierstrasssche Approximationssatz.- 7.25 Masse und Schwerpunkt.- 7.26 Potential einer Massenbelegung.- 7.27 Rotationssymmetrische Massenbelegungen.- Aufgaben.- 8. Die Integralsatze von Gauss, Green und Stokes.- 8.1 Gaussscher Integralsatz in der Ebene.- 8.2 Vektorprodukt und Parallelogrammflache.- 8.3 Flachen im R3.- 8.4 Der Inhalt einer Flache im R3.- 8.5 Oberflachenintegrale.- 8.6 Gaussscher Integralsatz im ?3.- 8.7 Physikalische Bedeutung des Gaussschen Satzes. Geschwindigkeitsfelder.- 8.8 Gramsche Matrizen und Determinanten.- 8.9 Der Inhalt von m-dimensionalen Flachen im Rn.- 8.10 Der Fall m = n-1.- 8.11 Die Rotation eines Vektorfeldes.- 8.12 Der Satz von Stokes.- Aufgaben.- 9. Das Lebesgue-Integral.- 9.1 Mathematische Vorbereitung. Das Rechnen in R.- 9.2 Intervalle.- 9.3 Mengen. Algebren und c-Algebren.- 9.4 Das aussere Lebesgue-Mass.- 9.5 Das Lebesguesche Mass.- 9.6 Offene Mengen und G?-Mengen.- 9.7 Das Lebesguesche Integral im ?n.- 9.8 Nichtnegative Funktionen.- 9.9 Messbare Funktionen.- 9.10 Treppenfunktionen und Elementarfunktionen.- 9.11 Messbarkeit und Integrierbarkeit.- 9.12 Funktionen mit Werten in ?p und ?.- 9.13 Satz von Beppo Levi.- 9.14 Satz von der majorisierten Konvergenz.- 9.15 Lemma von Fatou.- 9.16 Das Prinzip von Cavalieri.- 9.17 Die Produktformel.- 9.18 Satz von Fubini (1. Form).- 9.19 Die Substitutionsregel.- 9.20 Die Lp-Raume.- 9.21 Dichtesatz 340 Das Lebesgue-Integral in R.- 9.22 Absolutstetige Funktionen.- 9.23 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 9.24 UEberdeckungssatz von Vitali.- 9.25 Satz.- 9.26 Satz.- 9.27 Satz.- 9.28 Abschluss des Beweises.- 9.29 Satz.- 9.30 Partielle Integration.- 9.31 Die Substitutionsregel fur n = 1.- 9.32 Ausblicke.- Aufgaben.- 10. Fourierreihen.- 10.1 Trigonometrische Reihe und Fourierreihe.- 10.2 Satz von Riemann-Lebesgue.- 10.3 Satz.- 10.4 Konvergenzsatz.- 10.5 Konvergenzsatz fur Sprungstellen.- 10.6 Gerade und ungerade Fortsetzung.- 10.7 Umrechnung auf andere Periodenlangen.- 10.8 Riemannscher Lokalisati-onssatz.- 10.9 Gleichmassige Konvergenz. Satz.- Die Hilbertraumtheorie der Fourierreihen.- 10.10 Orthonormalfolgen im Hilbertraum.- 10.11 Fourierreihen bezuglich einer Orthonormalfolge.- 10.12 Konvergenzsatz.- 10.13 Vollstandigkeit einer Orthonormalfolge.- 10.14 Der Hilbertraum L2?.- 10.15 Satz.- 10.16 Nochmals Absolutkonvergenz.- Aufgaben.- Loesungen und Loesungshinweise zu ausgewahlten Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
「Nielsen BookData」 より
