Numerische Mathematik
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Numerische Mathematik
（Grundwissen Mathematik, 7）
Springer, c1991
2nd ed
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注記
Bibliography: p. [431]-438
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内容説明・目次
内容説明
Dieser Band Numerische Mathematik hat Prinzipien des numerischen Rechnens, numerische lineare Algebra und Naherungsmethoden in der Analysis zum Inhalt. Der Begriff der Approximation zieht sich als roter Faden durch den gesamten Text. Die Betonung liegt dabei weniger auf der Bereitstellung moeglichst vieler Algorithmen als vielmehr auf der Vermittlung mathematischer UEberlegungen, die zur Konstruktion von Verfahren fuhren. Jedoch werden auch der algorithmische Aspekt und entsprechende Effizienzbetrachtungen gebuhrend berucksichtigt. An vielen Stellen geht der dargebotene Stoff uber den Inhalt einer einschlagigen Vorlesung zur numerischen Mathematik hinaus, so dass man beim Gebrauch des Buches neben einer solchen Vorlesung eine Auswahl treffen wird. Dem Charakter der Reihe Grundwissen Mathematik entsprechend sind zahlreiche historische Anmerkungen eingeflochten. Besonderer Wert wird auf Querverbindungen und motivierende Erklarungen gelegt. Das Buch eignet sich zum Selbststudium und auch als Begleittext zu Vorlesungen. Diese 2. Auflage wurde uberarbeitet und erganzt. Zu den Erganzungen gehoert eine Darstellung der Idee der schnellen Fouriertransformation.
目次
- 1. Rechnen.- 1. Zahlen und ihre Darstellung.- 1.1 Zahldarstellung zu beliebiger Basis.- 1.2 Realisierung von Zahldarstellungen auf Rechenhilfsmitteln.- 1.3 Rechnen im Dualsystem.- 1.4 Festkomma-Arithmetik.- 1.5 Gleitkomma-Arithmetik.- 1.6 Aufgaben.- 2. Operationen mit Gleitkommazahlen.- 2.1 Die Rundungsvorschrift.- 2.2 Verknupfung von Gleitkommazahlen.- 2.3 Numerisch stabile bzw. instabile Auswertung von Formeln.- 2.4 Aufgaben.- 3. Fehleranalysen.- 3.1 Die Kondition eines Problems.- 3.2 Abschatzung der Rundungsfehler durch Vorwartsanalyse.- 3.3 Die Ruckwartsanalyse des Rundungsfehlers.- 3.4 Intervallarithmetik.- 3.5 Aufgaben.- 4. Algorithmen.- 4.1 Der euklidische Algorithmus.- 4.2 Bewertung von Algorithmen.- 4.3 Komplexitat von Algorithmen.- 4.4 Berechnung der Komplexitat einiger Algorithmen.- 4.5 Ein Konzept zur Verbesserung der Komplexitatsordnung.- 4.6 Schnelle Matrixmultiplikation.- 4.7 Aufgaben.- 2. Lineare Gleichungssysteme.- 1. Das Eliminationsverfahren nach Gauss.- 1.1 Notation und Aufgabenstellung.- 1.2 Der Rechenprozess.- 1.3 Das Gausssche Verfahren als Dreieckszerlegung.- 1.4 Einige spezielle Matrizen.- 1.5 Bemerkungen zur Pivotsuche.- 1.6 Komplexitat des Gaussschen Algorithmus.- l.7 Aufgaben.- 2. Die Cholesky-Zerlegung.- 2.1 Erinnerung an Bekanntes uber positiv definite (n x n)-Matrizen.- 2.2 Der Satz von der Cholesky-Zerlegung.- 2.3 Komplexitat der Cholesky-Zerlegung.- 2.4 Aufgaben.- 3. Die QR-Zerlegung nach Householder.- 3.1 Householder-Matrizen.- 3.2 Die Grundaufgabe.- 3.3 Der Algorithmus nach Householder.- 3.4 Komplexitat der QR-Zerlegung.- 3.5 Aufgaben.- 4. Vektornormen und Normen von Matrizen.- 4.1 Normen auf Vektorraumen.- 4.2 Die naturliche Norm einer Matrix.- 4.3 Spezielle Normen von Matrizen.- 4.4 Aufgaben.- 5. Fehlerabschatzungen.- 5.1 Kondition einer Matrix.- 5.2 Eine Fehlerabschatzung bei gestoerter Matrix.- 5.3 Brauchbare Loesungen.- 5.4 Aufgaben.- 6. Schlechtkonditionierte Probleme.- 6.1 Die Singularwertzerlegung einer Matrix.- 6.2 Pseudonormalloesungen linearer Gleichungssysteme.- 6.3 Die Pseudoinverse einer Matrix.- 6.4 Zuruck zu linearen Gleichungssystemen.- 6.5 Verbesserung der Kondition und Regularisierung eines linearen Gleichungssystems.- 6.6 Aufgaben.- 3. Eigenwerte.- 1. Reduktion auf Tridiagonal- bzw. Hessenberg-Gestalt.- 1.1 Das Householder-Verfahren.- 1.2 Berechnung der Eigenwerte von Tridiagonalmatrizen.- 1.3 Berechnung der Eigenwerte von Hessenberg-Matrizen.- 1.4 Aufgaben.- 2. Die Jacobi-Rotation
- Eigenwertabschatzungen.- 2.1 Das Jacobi-Verfahren.- 2.2 Abschatzungen der Eigenwerte.- 2.3 Aufgaben.- 3. Die Potenzmethode.- 3.1 Ein iterativer Ansatz.- 3.2 Berechnung der Eigenvektoren und weiterer Eigenwerte.- 3.3 Der Rayleigh-Quotient.- 3.4 Aufgaben.- 4. Der QR-Algorithmus.- 4.1 Konvergenz des QR-Algorithmus.- 4.2 Bemerkungen zum LR-Algorithmus.- 4.3 Aufgaben.- 4. Approximation.- 1. Vorbereitungen.- 1.1 Normierte Vektorraume.- 1.2 Banachraume.- 1.3 Hilbertraume und Prae-Hilbertraume.- 1.4 Die Raume Lp[a, b].- 1.5 Lineare Operatoren.- 1.6 Aufgaben.- 2. Die Approximationssatze von Weierstrass.- 2.1 Approximation durch Polynome.- 2.2 Der Approximationssatz fur stetige Funktionen.- 2.3 Der Gedankenkreis von Korovkin.- 2.4 Anwendungen des Satzes 2.3..- 2.5 Approximationsgute.- 2.6 Aufgaben.- 3. Das allgemeine Approximationsproblem.- 3.1 Beste Naherungen.- 3.2 Existenz eines Proximums.- 3.3 Eindeutigkeit des Proximums.- 3.4 Lineare Approximation.- 3.5 Eindeutigkeit in endlichdimensionalen linearen Unterraumen.- 3.6 Aufgaben.- 4. Gleichmassige Approximation.- 4.1 Approximation durch Polynome.- 4.2 Haarsche Raume.- 4.3 Der Alternantensatz.- 4.4 Eindeutigkeit.- 4.5 Eine Abschatzung.- 4.6 Berechnung des Proximums.- 4.7 Tschebyschev-Polynome 1. Art.- 4.8 Entwicklung nach Tschebyschev-Polynomen.- 4.9 Konvergenz der Proxima.- 4.10 Zur nichtlinearen Approximation.- 4.11 Bemerkungen zur Approximationsaufgabe in (C[a, b], ? * ?i).- 4.12 Aufgaben.- 5. Approximation in Prae-Hilbertraumen.- 5.1 Charakterisierung des Proximums.- 5.2 Die Normalgleichungen.- 5.3 Orthonormalsysteme.- 5.4 Die Legendreschen Polynome.- 5.5 Eigenschaften orthonormierter Polynome.- 5.6 Konvergenz in C[a, b].- 5.7 Approximation stuckweise stetiger Funktionen.- 5.8 Trigonometrische Approximation.- 5.9 Aufgaben.- 6. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 6.1 Diskrete Approximation.- 6.2 Die Loesung der Normalgleichungen.- 6.3 Ausgleichung durch Polynome.- 6.4 Zusammenfallende Stutzstellen.- 6.5 Diskrete Approximation durch trigonometrische Funktionen.- 6.6 Aufgaben.- 5. Interpolation.- 1. Das Interpolationsproblem.- 1.1 Interpolation in Haarschen Raumen.- 1.2 Interpolation durch Polynome.- 1.3 Das Restglied.- 1.4 Abschatzungen.- 1.5 Aufgaben.- 2. Interpolationsmethoden und Restglied.- 2.1 Ansatz von Lagrange.- 2.2 Ansatz von Newton.- 2.3 Steigungen.- 2.4 Die allgemeine Peanosche RestglieddarStellung.- 2.5 Eine ableitungsfreie Fehlerabschatzung.- 2.6 Verbindung zur Analysis.- 2.7 Aufgaben.- 3. Gleichabstandige Stutzstellen.- 3.1 Das Diiferenzenschema.- 3.2 Darstellungen des Interpolationspolynoms.- 3.3 Numerische Differentiation.- 3.4 Aufgaben.- 4. Konvergenz von Interpolationspolynomen.- 4.1 Beste Interpolation.- 4.2 Konvergenzprobleme.- 4.3 Konvergenzaussagen.- 4.4 Aufgaben.- 5. Spezielle Interpolationen.- 5.1 Das Hornerschema.- 5.2 Der Algorithmus von Aitken-Neville.- 5.3 Hermite-Interpolation.- 5.4 Trigonometrische Interpolation.- 5.5 Interpolation im Komplexen.- 5.6 Aufgaben.- 6. Mehrdimensionale Interpolation.- 6.1 Verschiedene Interpolationsaufgaben.- 6.2 Interpolation auf Rechtecken.- 6.3 Abschatzung des Interpolationsfehlers.- 6.4 Aufgaben.- 6. Splines.- 1. Polynom-Splines.- 1.1 Splineraume.- 1.2 Basis eines Splineraums.- 1.3 Proxima in Splineraumen.- 1.4 Aufgaben.- 2. Interpolierende Splines.- 2.1 Splines ungeraden Grades.- 2.2 Eine Extremaleigenschaft der Splines.- 2.3 Quadratische Splines.- 2.4 Konvergenzverhalten.- 2.5 Aufgaben.- 3. B-Splines.- 3.1 Existenz von B-Splines.- 3.2 Lokale Basen.- 3.3 Weitere Eigenschaften von B-Splines.- 3.4 Lineare B-Splines.- 3.5 Quadratische B-Splines.- 3.6 Kubische B-Splines.- 3.7 Aufgaben.- 4. Berechnung interpolierender Splines.- 4.1 Kubische Splines.- 4.2 Quadratische Splines.- 4.3 Ein allgemeines Interpolationsproblem.- 4.4 Aufgaben.- 5. Abschatzungen und Approximation durch Splines.- 5.1 Fehlerabschatzungen fur lineare Splines.- 5.2 Zur gleichmassigen Approximation durch lineare Splines.- 5.3 Ausgleichen durch lineare Splines.- 5.4 Fehlerabschatzungen fur Splines hoeheren Grades.- 5.5 Ausgleichssplines hoeheren Grades.- 5.6 Aufgaben.- 6. Mehrdimensionale Splines.- 6.1 Bilineare Splines.- 6.2 Bikubische Splines.- 6.3 Blende-Splines.- 6.4 Aufgaben.- 7. Integration.- 1. Interpolationsquadratur.- 1.1 Rechteckregeln.- 1.2 Die Sehnentrapezregel.- 1.3 Die Euler-MacLaurinsche Entwicklung.- 1.4 Die Simpsonsche Regel.- 1.5 Newton-Cotes-Formeln.- 1.6 Unsymmetrische Quadraturformeln.- 1.7 Aufgaben.- 2. Schrittweitenextrapolation.- 2.1 Das Halbierungsverfahren.- 2.2 Fehlerbetrachtung.- 2.3 Extrapolation.- 2.4 Konvergenz.- 2.5 Aufgaben.- 3. Numerische Integration nach Gauss.- 3.1 Ansatz von Gauss.- 3.2 Gauss-Quadratur als Interpolationsquadratur.- 3.3 Fehlerdarstellung.- 3.4 Modifikationen.- 3.5 Uneigentliche Integrale.- 3.6 Stutzstellen und Gewichte Gaussscher Quadraturformeln.- 3.7 Aufgaben.- 4. Spezielle Quadraturen.- 4.1 Integration uber ein unendliches Intervall.- 4.2 Singularer Integrand.- 4.3 Periodische Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5. Optimalitat und Konvergenz.- 5.1 Normminimierung.- 5.2 Minimaler Einfluss zufalliger Fehler.- 5.3 Optimale Quadraturformeln.- 5.4 Konvergenz von Quadraturformeln.- 5.5 Quadraturoperatoren.- 5.6 Aufgaben.- 6. Mehrdimensionale Integration.- 6.1 Kartesische Produkte.- 6.2 Integration uber Standardgebiete.- 6.3 Die Monte-Carlo-Methode.- 6.4 Aufgaben.- 8. Iteration.- 1. Das allgemeine Iterationsverfahren.- 1.1 Anschauliche Deutung des Iterationsverfahrens.- 1.2 Konvergenz des Iterationsverfahrens.- 1.3 Lipschitzkonstanten.- 1.4 Fehlerabschatzung.- 1.5 Konvergenzverhalten und Konvergenzgute.- 1.6 Aufgaben.- 2. Das Newton-Verfahren.- 2.1 Konvergenzbeschleunigung des Iterationsverfahrens.- 2.2 Geometrische Deutung.- 2.3 Mehrfache Nullstellen.- 2.4 Das Sekantenverfahren.- 2.5 Das Newton-Verfahren fur m > 1.- 2.6 Wurzeln algebraischer Gleichungen.- 2.7 Aufgaben.- 3. Iterative Loesung linearer Gleichungssysteme.- 3.1 Folgen von Iterationsmatrizen.- 3.2 Das Gesamtschrittverfahren.- 3.3 Das Einzelschrittverfahren.- 3.4 Der Satz von Stein und Rosenberg.- 3.5 Aufgaben.- 4. Weitere Konvergenzuntersuchungen.- 4.1 Relaxation beim Gesamtschrittverfahren.- 4.2 Relaxation beim Einzelschrittverfahren.- 4.3 Optimale Relaxationsparameter.- 4.4 Aufgaben.- 9. Lineare Optimierung.- 1. Einfuhrende Beispiele, allgemeine Problemstellung.- 1.1 Eine optimale Produktionsplanung.- 1.2 Ein semiinfinites Optimierungsproblem.- 1.3 Ein lineares Steuerungsproblem.- 1.4 Die allgemeine Problemstellung.- 1.5 Aufgaben.- 2. Polyeder.- 2.1 Charakterisierung von Ecken.- 2.2 Existenz von Ecken.- 2.3 Das Hauptergebnis.- 2.4 Eine weitere Charakterisierung von Ecken.- 2.5 Aufgaben.- 3. Das Simplexverfahren.- 3.1 Vorbereitungen.- 3.2 Der Eckenaustausch ohne Entartung.- 3.3 Startecken.- 3.4 Bemerkungen zu entarteten Ecken.- 3.5 Die Zweiphasenmethode.- 3.6 Das revidierte Simplexverfahren.- 3.7 Aufgaben.- 4. Betrachtungen zur Komplexitat.- 4.1 Die Beispiele von Klee und Minty.- 4.2 Zum Durchschnittsverhalten von Algorithmen.- 4.3 Laufzeitverhalten von Algorithmen.- 4.4 Polynomiale Algorithmen.- 4.5 Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
「Nielsen BookData」 より