Zahlen
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Zahlen
（Grundwissen Mathematik, 1）
Springer-Verlag, c1992
3., verbesserte Aufl
- : pbk
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Description and Table of Contents
Description
Mathematik zu erlernen und zu lehren gilt als schwierig. Die Begriffe reelle und komplexe Zahlen oder die Kreiszahl Pi sind zwar vielen bekannt, aber nur wenige wissen, was dahinter steckt. Leser, die erfahren wollen, was sich wirklich dahinter verbirgt, werden in diesem Band an die Magie der Mathematik herangefuhrt: "Das Lesen ist ein Genuss, den man sich nicht entgehen lassen sollte." (Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung).
Table of Contents
A. Von den naturlichen zu den komplexen und p-adischen Zahlen.- 1. Naturliche, ganze und rationale Zahlen.- 1. Historisches.- 1. AEgypten und Babylonien.- 2. Griechenland.- 3. Indisch-arabische Rechenpraxis.- 4. Neuzeit.- 2. Naturliche Zahlen.- 1. Definition der naturlichen Zahlen.- 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von ?.- 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der naturlichen Zahlen.- 4. PEANOS Axiome.- 3. Ganze Zahlen.- 1. Die additive Gruppe ?.- 2. Der Integritatsring ?.- 3. Die Anordnung in ?.- 4. Rationale Zahlen.- 1. Historisches.- 2. Der Koerper ?.- 3. Die Anordnung in ?.- Literatur.- 2. Reelle Zahlen.- 1. Historisches.- 1. HIPPASUS und das Pentagon.- 2. EUDOXOS und die Proportionenlehre.- 3. Irrationalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik.- 4. Prazisierungen des 19. Jahrhunderts.- 2. DEDEKINDsche Schnitte.- 1. Die Menge ? der Schnitte.- 2. Die Anordnung in ?.- 3. Die Addition in ?.- 4. Die Multiplikation in ?.- 3. Fundamentalfolgen.- 1. Historisches.- 2. Das CAUCHYsche Konvergenzkriterium.- 3. Der Ring der Fundamentalfolgen.- 4. Der Restklassenkoerper F/N der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen.- 5. Der vollstandig geordnete Restklassenkoerper F/N.- 4. Intervallschachtelungen.- 1. Historisches.- 2. Intervallschachtelungen und Vollstandigkeit.- 5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen.- 1. Die naturlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkoerper.- 2. Vollstandigkeitssatze, 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen.- Literatur.- 3. Komplexe Zahlen.- 1. Genesis der komplexen Zahlen.- 1. CARDANO (1501-1576).- 2. BOMBELLI (1526-1572).- 3. DESCARTES (1596-1650), NEWTON (1643-1727) und LEIBNIZ (1646-1716).- 4. EULER (1707-1783).- 5. WALLIS (1616-1703), WESSEL (1745-1818) und ARGAND (1768-1822).- 6. GAUSS (1777-1855).- 7. CAUCHY (1789-1857).- 8. HAMILTON (1805-1865).- 9. Ausblick.- 2. Der Koerper ?.- 1. Definition durch reelle Zahlenpaare.- 2. Die imaginare Einheit i.- 3. Geometrische Darstellung.- 4. Nichtanordbarkeit des Koerpers ?.- 5. Darstellung durch reelle 2 x 2 Matrizen.- 3. Algebraische Eigenschaften des Koerpers ?.- 1. Die Konjugierung ? ??, z?z?.- 2. Koerperautomorphismen von ?.- 3. Das naturliche Skalarprodukt Re(wz?) und die euklidische Lange ?z?.- 4. Produktregel und "Zwei-Quadrate-Satz".- 5. Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen.- 6. Quadratwurzeln und n-te Wurzeln.- 4. Geometrische Eigenschaften des Koerpers ?.- 1. Die Identitat ?w, z?2 + ?iw, z?2 = ?w?2 ?z?2.- 2. Cosinussatz und Dreiecksungleichung.- 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhaltnis.- 4. Sehnenvierecke und Doppelverhaltnis.- 5. Satz von PTOLEMAEUS.- 6. WALLACEsche Gerade.- 5. Die Gruppen O(?) und SO(2).- 1. Abstandstreue Abbildungen von ?.- 2. Die Gruppe O (?).- 3. Die Gruppe SO (2) und der Isomorphismus S1 ? SO(2).- 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2 x 2 Matrizen.- 6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten.- 3. MOIVREsche Formel.- 4. Einheitswurzeln.- 4. Fundamentalsatz der Algebra.- 1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes.- 1. GIRARD (1595-1632) und DESCARTES (1596-1650).- 2. LEIBNIZ (1646-1716).- 3. EULER (1707-1783).- 4. D'ALEMBERT (1717-1783).- 5. LAGRANGE (1736-1813) und Laplace (1749-1827).- 6. Die Kritik durch GAUSS.- 7. Die vier Beweise von GAUSS.- 8. ARGAND (1768-1822) und CAUCHY (1789-1857).- 9. Fundamentalsatz der Algebra: 0 fur 0 < y < ? und die Gleichung $$e^{i\frac{\pi} {2}}=i$$.- 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: ? ? S1, 7. Die Zahl ? und Umfang und Inhalt eines Kreises.- 4. Klassische Formeln fur ?.- 1. Die LEIBNIZsche Reihe fur ?.- 2. Das VIETAsche Produkt fur ?.- 3. Das EULERsche Sinusprodukt und das WALLIssche Produkt fur ?.- 4. Die EULERschen Reihen fur ?2,?4,....- 5. Die WEIERSTRASSsche Definition von ?.- 6. Irrationalitat von ? und Kettenbruchentwicklung.- 7. Transzendenz von ?.- 6. Die p-adischen Zahlen.- 1. Zahlen als Funktionen.- 2. Die arithmetische Bedeutung der p-adischen Zahlen.- 3. Die analytische Natur der p-adischen Zahlen.- 4. Die p-adischen Zahlen.- Literatur.- B. Reelle Divisionsalgebren.- Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren.- 1. Reelle Algebren.- 2. Beispiele reeller Algebren.- 3. Unteralgebren und Algebra-Homomorphismen.- 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren.- 5. Divisionsalgebren.- 6. Konstruktion von Algebren mittels Basen.- 7. HAMILTOMsche Quaternionen.- 1. Die Quaternionenalgebra ?.- 1. Die Algebra ? der Quaternionen.- 2. Die Matrixalgebra ? und der Isomorphismus F: ? ? ?.- 3. Der Imaginarraum von ?.- 4. Quaternionenprodukt, Vektorprodukt und Skalarprodukt.- 5. Zur Nichtkommutativitat von ?. Zentrum.- 6. Die Endomorphismen des ?-Vektorraumes ?.- 7. Quaternionenmultiplikation und Vektoranalysis.- 8. Fundamentalsatz der Algebra fur Quaternionen.- 2. Die Algebra ? als euklidischer Vektorraum.- 1. Konjugierung und. Linearform Re.- 2. Eigenschaften des Skalarproduktes.- 3. Der "Vier-Quadrate-Satz".- 4. Konjugierungs- und Langentreue von Automorphismen.- 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Lange 1.- 6. Die spezielle unitare Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 ? SU(2).- 3. Die orthogonalen Gruppen O(3), O(4) und die Quaternionen.- 1. Orthogonale Gruppen.- 2. Die Gruppe O(?). Satz von CAYLEY.- 3. Die Gruppe O(Im ?). Satz von HAMILTON.- 4. Die Epimorphismen S3?SO(3) und S3 x S3 ? SO(4).- 5. Drehachse und Drehwinkel.- 6. EULERsche Parameterdarstellung der SO(3).- 8. Isomorphiesatze von FROBENIUS, HOPF und GELFAND-MAZUR.- 1. HAMILTONsche Tripel in alternativen Algebren.- 1. Die rein-imaginaren Elemente einer Algebra.- 2. HAMILTONsche Tripel.- 3. Existenz HAMILTONscher Tripel in alternativen Algebren.- 4. Alternative Algebren.- 2. Satz von FROBENIUS.- 1. Lemma von FROBENIUS.- 2. Beispiele quadratischer Algebren.- 3. Quaternionen-Lemma.- 4. Satz von FROBENIUS (1877).- 3. Satz von HOPF.- 1. Topologisierung reeller Algebren.- 2. Die Quadratabbildung A ? A, x?x2. HOPFsches Lemma.- 3. Satz von HOPF.- 4. Der ursprungliche HOPFsche Beweis.- 5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement.- 4. Satz von GELFAND-MAZUR.- 1. BANACH-Algebren.- 2. Die binomische Reihe.- 3. Lokaler Umkehrsatz.- 4. Die multiplikative Gruppe Ax.- 5. Satz von GELFAND-MAZUR.- 6. Struktur normierter assoziativer Divisionsalgebren.- 7. Das Spektrum.- 8. Historisches zum Satz von GELFAND-MAZUR.- 9. Ausblick.- 9: CAYLEY-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren.- 1. Alternative quadratische Algebren.- 1. Quadratische Algebren.- 2. Satz uber die Bilinearform.- 3. Satz uber die Kon-jugierungsabbildung.- 4. Die Dreier-Identitat.- 5. Der euklidische Vektorraum A und die orthogonale Gruppe O(A).- 2. Existenz und Eigenschaften der CAYLEY-Algebra O.- 1. Konstruktion der quadratischen Algebra O der Oktaven.- 2. Imaginarraum, Linearform, Bilinearform und Konjugierung von O.- 3. O als alternative Divisionsalgebra.- 4. "Acht-Quadrate-Satz".- 5. Die Gleichung O = ???p.- 6. Multiplikationstafel fur O.- 3. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra.- 1. Verdopplungssatz.- 2. Einzigkeit der CAYLEY-Algebra (ZORN 1933).- 3. Beschreibung von O durch ZoRNsche Vektormatrizen.- 10. Kompositionsalgebren. Satz von HURWITZ. Vektorprodukt-Algebren.- 1. Kompositionsalgebren.- 1. Historisches zur Kompositionstheorie.- 2. Beispiele.- 3. Kompositionsalgebren mit Einselement.- 4. Struktursatz fur Kompositionsalgebren mit Einselement.- 2. Mutation von Kompositionsalgebren.- 1. Mutationen von Algebren.- 2. Mutationssatz fur endlich-dimensionale Kompositionsalgebren.- 3. Satz von HURWITZ (1898).- 3. Vektorprodukt-Algebren.- 1. Der Begriff der Vektorprodukt-Algebra.- 2. Konstruktion von Vektorprodukt-Algebren.- 3. Beschreibung aller Vektorprodukt-Algebren.- 4*. MALCEV-Algebren.- 5. Historische Bemerkung.- 11. Divisionsalgebren und Topologie.- 1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2.- 1. Ungerade Abbildungen und der Satz von HOPF.- 2. Homologie und Kohomo-logie mit Koeffizienten in F2.- 3. Beweis des Satzes von HOPF.- 4. Historische Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie.- 5. Charakteristische Homologieklassen nach STIEFEL.- 2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8.- 1. Die mod 2-Invariante ?(f).- 2. Parallelisierbarkeit der Spharen und Divisionsalgebren.- 3. Vektorraumbundel.- 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach WHITNEY.- 5. Der Ring der Vektorraumbundel.- 6. Die BoTTsche Periodizitat.- 7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten.- 8. Schluss des Beweises.- 9. Historische Anmerkungen.- 3. Erganzungen.- 1. Definition der HOPFschen Invarianten.- 2. Die HoPFsche Konstruktion.- 3. Der Satz von ADAMS uber die HoPFsche Invariante.- 4. Zusammenfassung.- 5. Der Satz von ADAMS uber Vektorfelder auf Spharen.- Literatur.- C. Ausblicke.- 12. Non-Standard Analysis.- 1. Einfuhrung.- 2. Der Non-Standard Zahlbereich *?.- 1. Konstruktion von *?.- 2. Eigenschaften von *?.- 3. Gemeinsamkeiten von ? und *?.- 4. Differential-und Integralrechnung.- 1. Differentiation.- 2. Integration.- Epilog.- Literatur.- 13. Zahlen und Spiele.- 1. Einleitung.- 1. Der traditionelle Aufbau der reellen Zahlen.- 2. Die CONWAYsche Methode.- 3. UEbersicht.- 2. CONWAYspiele.- 1. Diskussion der DEDEKINDschen Postulate.- 2. CONWAYs Modifikation der DEDEKINDschen Postulate.- 3. CONWAYspiele.- 3. Spiele.- 1. Der Spielbegriff.- 2. Beispiele fur Spiele.- 3. Ein Induktionsprinzip fur Spiele.- 4. Zur Theorie der Spiele.- 1. Gewinnstrategien.- 2. Positive und negative Spiele.- 3. Eine Einteilung der Spiele. Gleichwertigkeit von Spielen.- 5. Eine halbgeordnete Gruppe aquivalenter Spiele.- 1. Das Negative eines Spiels.- 2. Die Summe zweier Spiele.- 3. Isomorphe Spiele.- 4. Eine Halbordnung der Spiele.- 5. Gleichheit von Spielen.- 6. Spiele und CONWAYspiele.- 1. Die grundlegenden Abbildungen.- 2. UEbertragung der fur Spiele definierten Relationen und Operationen auf CONWAYspiele.- 3. Beispiele.- 7. CONWAYzahlen.- 1. Die CONWAYschen Postulate (C1) und (C2).- 2. Elementare Eigenschaften der Ordnung.- 3. Beispiele.- 8. Der Koerper der CONWAYzahlen.- 1. Die Rechenoperationen fur Zahlen.- 2. Beispiele.- 3. Eigenschaften des Koerpers der Zahlen.- Literatur.- 14. Mengenlehre und Mathematik.- 1. Mengen und die Objekte der Mathematik.- 1. Urelemente und hoehere Objekte.- 2. Mengentheoretische Definition hoeherer Objekte.- 3. Urelemente als Mengen.- 2. Axiomensysteme der Mengenlehre.- 1. Die RUSSELLsche Antinomie.- 2. ZERMELOsche und ZERMELO-FRAENKELsche Mengenlehre.- 3. Einige Folgerungen.- 4. Mengenlehre mit Klassen.- 3. Einige metamathematische Aspekte.- 1. Die VON NEUMANNsche Hierarchie.- 2. Das Auswahlaxiom.- 3. Unabhangigkeitsbeweise.- Epilog.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Portrats beruhmter Mathematiker.
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