Zahlentheorie : Eine Einführung in die Algebra
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Zahlentheorie : Eine Einführung in die Algebra
（Grundwissen Mathematik）
Springer, c1996
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"Mit 9Abbildungen, 6 Tabellen und 1 Falttafel" -- T.p.
内容説明・目次
内容説明
Auf der Grundlage der Mathematikkenntnisse des ersten Studienjahres bietet der Autor eine Einfuhrung in die Zahlentheorie mit Schwerpunkt auf der elementaren und algebraischen Zahlentheorie. Das Buch wendet sich auch an Nichtspezialisten, denen es uber die Zahlen fruhzeitig den Weg in die Algebra oeffnet. Angestrebte Ziele sind: Der Satz von Kronecker-Weber zur Kroenung der Galois-Theorie, der Minkowskische Gitterpunktsatz, der Dirichletsche Primzahlsatz und die Bewertungstheorie der Koerper.
目次
1 Der Fundamentalsatz der Arithmetik.- 1.1 Die naturlichen Zahlen.- 1.2 Der groesste gemeinsame Teiler.- 1.3 Vier Regeln zum groessten gemeinsamen Teiler.- 1.4 UEber die Primzahlen.- 1.5 Kanonische Zerlegung und Teiler.- 1.6 Die Rolle der Primzahlen in ?.- Aufgaben.- 2 Primzahlen und irreduzible Polynome.- 2.1 Das Sieb des Eratosthenes.- 2.2 UEber das Wachstum der Primzahlen.- 2.3 Der Fundamentalsatz in Polynomringen.- 2.4 UEber Nullstellen und groesste gemeinsame Teiler.- 2.5 Polynomfaktorisierung in der linearen Algebra.- Aufgaben.- 3 Die Restklassenringe von ?.- 3.1 Die Restklassen und ihre Verknupfungen.- 3.2 Die Eulersche ?-Funktion.- 3.3 Der Chinesische Restsatz.- 3.4 Vielfache und Potenzen.- 3.5 Anwendung auf die prime Restklassengruppe.- Aufgaben.- 4 Die Struktur endlicher abelscher Gruppen.- 4.1 Der Hauptsatz uber endliche abelsche Gruppen.- 4.2 Die Struktur der primen Restklassengruppen.- Aufgaben.- 5 Das quadratische Reziprozitatsgesetz.- 5.1 Beschreibung der Quadrategruppe als Kern.- 5.2 Einfuhrung des Jacobi-Symbols nach Kronecker.- 5.3 Vorkehrung zum Beweis des Hauptsatzes.- 5.4 Das Reziprozitatsgesetz fur das Jacobi-Symbol.- 5.5 Quadrate in der primen Restklassengruppe.- Aufgaben.- 6 Gewoehnliche Kettenbruche.- 6.1 Die Halbgruppe des euklidischen Algorithmus.- 6.2 Moebiustransformationen der projektiven Gerade.- 6.3 Die Kettenbruchentwickiung der Irrationalzahlen.- 6.4 Die Approximationsgute der Naherungsbruche.- 6.5 Periodische Kettenbruche.- 6.6 Beste Naherungen.- 6.7 Die Farey-Reihe.- Aufgaben.- 7 Quadratische Zahlkoerper.- 7.1 Teilkoerper von ? als Vektorraume uber ?.- 7.2 Gitter und ihre Ordnungen.- 7.3 Der Ganzheitsring und seine Einheitengruppe.- 7.4 Der Automorphismus quadratischer Zahlkoerper.- 7.5 Grundeinheiten und Kettenbruche.- Aufgaben.- 8 Teilbarkeit in Integritatsbereichen.- 8.1 Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre.- 8.2 Faktorielle Ringe.- 8.3 Hauptidealringe.- 8.4 Zahlkoerper mit euklidischem Algorithmus.- 8.5 Arithmetik quadratischer Zahlkoerper.- Aufgaben.- 9 Die lokalen Koerper uber ?.- 9.1 Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen.- 9.2 Der p-Betrag und die ultrametrische Ungleichung.- 9.3 Der Koerper der p-adischen Zahlen.- 9.4 Polynome mit ganzen p-adischen Koeffizienten.- 9.5 Die verschiedenen Betrage des Koerpers ?.- Aufgaben.- 10 Das Hilbertsche Normenrestsymbol.- 10.1 Quadratische Erweiterungen p-adischer Koerper.- 10.2 Die Normen-Index-Gleichung.- 10.3 Das Hilbert-Symbol als Bilinearform.- 10.4 Produktformel fur die lokalen Hilbertsymbole.- Aufgaben.- 11 Elemente der Gruppentheorie.- 11.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen.- 11.2 Torsions-Elemente in abelschen Gruppen.- 11.3 Freie abelsche Gruppen und ihre Untergruppen.- 11.4 Die symmetrische Gruppe.- 11.5 Exkurs uber Gruppenaktionen.- 11.6 Die Sylowschen Satze.- Aufgaben.- 12 Zahlkoerper und ihre Ordnungen.- 12.1 Die Gitter in algebraischen Zahlkoerpern.- 12.2 Die Dedekindschen Ordnungen.- 12.3 Die Diskriminante einer Basis.- 12.4 Die Endlichkeit der Klassenzahl.- 12.5 Konstruktion von Zahlkoerpern aus Polynomen.- 12.6 Polynome uber faktoriellen Ringen.- 12.7 Biquadratische Zahlkoerper.- Aufgaben.- 13 Der Fundamentalsatz in Zahlkoerpern.- 13.1 Die Gruppe der gebrochenen Ideale.- 13.2 Der allgemeine Chinesische Restsatz.- 13.3 Die Absolutnorm der Ideale in Zahlkoerpern.- 13.4 Zerlegung der Primzahlen in Zahlkoerpern.- 13.5 Restklassenrechnen im Ganzheitsring.- 13.6 Relativerweiterungen von Zahlkoerpern.- 13.7 Quadrate in quadratischen Zahlkoerpern.- Aufgaben.- 14 Endliche Galois-Erweiterungen.- 14.1 Adjunktion von Nullstellen eines Polynoms.- 14.2 Fortsetzung von Koerper-Isomorphismen.- 14.3 Einfache Nullstellen und formale Ableitung.- 14.4 Uber Homomorphismen von Koerpern.- 14.5 Der Fixkoerper von Automorphismen.- 14.6 Der Hauptsatz der Galoistheorie.- 14.7 Polynome in Galoiserweiterungen.- 14.8 Automorphismen rationaler Funktionenkoerper.- Aufgaben.- 15 Anwendungen der Galois-Theorie.- 15.1 Aktion der Galoisgruppe auf den Wurzeln.- 15.2 Separable Koerpererweiterungen.- 15.3 Norm, Spur und Hauptpolynom.- 15.4 Der Verschiebungssatz der Galoistheorie.- 15.5 Adjunktion von Einheitswurzeln.- 15.6 Erweiterungen endlicher Koerper.- 15.7 Galoiserweiterungen von Zahlkoerpern.- 15.8 Die Hilbertsche Untergruppenkette.- Aufgaben.- 16 DifFerente und Diskriminante.- 16.1 Einfuhrung der Differente eines Zahlkoerpers.- 16.2 UEber monogene Ordnungen in Zahlkoerpern.- 16.3 Der zweite Dedekindsche Hauptsatz.- 16.4 Der dritte Dedekindsche Hauptsatz.- 16.5 Die Resultante zweier Polynome.- 16.6 Eigenschaften der Resultante.- 16.7 Die Diskriminante eines normierten Polynoms.- Aufgaben.- 17 Kreisteilungskoerper uber ?.- 17.1 Einheitswurzeln von Primzahlpotenzordnung.- 17.2 Der m-te Kreisteilungskoerper.- 17.3 Ein Satz zur Fermatschen Vermutung.- 17.4 Zerlegung der Primzahlen in Kreiskoerpern.- 17.5 Der Satz von Kronecker und Weber.- Aufgaben.- 18 Geometrie der Zahlen.- 18.1 Der Gitterpunktsatz von Minkowski.- 18.2 Einbettung der Gitter von Zahlkoerpern.- 18.3 Schranken fur Normen und Diskriminanten.- 18.4 Der Dirichletsche Einheitensatz.- 18.5 Normeuklidische Zahlkoerper nach H.W. Lenstra.- 18.6 Ausnahme-Einheiten.- Aufgaben.- 19 Der Dirichletsche Primzahlsatz.- 19.1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen.- 19.2 Dirichlet-Reihen.- 19.3 Logarithmus und unendliche Produkte.- 19.4 Der Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes.- 19.5 Die Dedekindsche Zetafunktion.- 19.6 Die Klassenzahlen quadratischer Zahlkoerper.- Aufgaben.- 20 Die Bewertungen der Zahlkoerper.- 20.1 Komplettierungen.- 20.2 Archimedische und ultrametrische Bewertungen.- 20.3 Fortsetzung von Bewertungen.- 20.4 Betrage und Komplettierungen der Zahlkoerper.- 20.5 p-Koerper.- 20.6 Erweiterungen von p-Koerpern.- Aufgaben.- Anhang: Determinanten.- Aufgaben.- Literatur.
「Nielsen BookData」 より