Analytische Funktionen in der Zahlentheorie
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Analytische Funktionen in der Zahlentheorie
（Teubner-Texte zur Mathematik, Bd. 139）
B.G. Teubner, 2000
1. Aufl.
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Includes bibliographies (p. [281]-285) and index
Description and Table of Contents
Description
Im Mittelpunkt des Buches steht die Behandlung von Funktionalgleichungen analytischer Funktionen, die fur die Anwendungen in der Zahlentheorie von Interesse sind. Ausgehend vom Gedankenkreis des quadratischen Reziprozitatsgesetzes werden die analytischen Grundlagen durch die Jacobischen Thetafunktionen und die Dedekindsche Etafunktion gelegt und ihre Beziehungen zu den Gaussschen und Dedekindschen Summen eroertert. Anschliessend werden Verallgemeinerungen dieser Funktionen bezuglich hoeherer arithmetischer Probleme besprochen. Schliesslich werden analytische Funktionen uber konvexen Koerpern betrachtet und Abschatzungen von Gitterpunktanzahlen in konvexen Koerpern vorgenommen.
Table of Contents
1 Exponentialsummen I.- 1.1 Die Kusmin-Landausche Ungleichung.- 1.2 Der Satz von van der Corput.- 1.3 Die Fehlerfunktion.- 1.4 Anmerkungen.- 2 Reziprozitatsgesetze.- 2.1 Gausssche Summen.- 2.2 Exponentialsummen mit quadratischem Polynom.- 2.3 Die Jacobische Thetafunktion.- 2.4 Funktionalgleichungen analytischer Funktionen.- 2.5 Grenzfalle der Thetafunktionen.- 2.6 Die Dedekindsche Etafunktion.- 2.7 Dedekindsche Summen.- 2.8 Anmerkungen.- 3 Hoehere Eta- und Thetafunktionen.- 3.1 Hoehere Etafunktionen.- 3.2 Hoehere Dedekindsche Summen.- 3.3 Partitionen.- 3.4 Hoehere Thetafunktionen.- 3.4.1 Die kubische Thetafunktion.- 3.4.2 Die biquadratische Thetafunktion.- 3.4.3 Asymptotische Darstellungen.- 3.5 Hoehere Gausssche Summen.- 3.5.1 Gausssche Summen der Ordnung k.- 3.5.2 Kubische Gausssche Summen.- 3.5.3 Anwendungen: Kongruenzen.- 3.6 Grenzfalle der hoeheren Thetafunktionen.- 3.6.1 Der kubische Fall.- 3.6.2 Der biquadratische Fall.- 3.6.3 Der allgemeine Fall.- 3.7 Weylsche Exponentialsummen.- 3.8 Anmerkungen.- 4 Exponentialsummen II.- 4.1 Zweifache Exponentialsummen I.- 4.2 Zweifache Exponentialsummen II.- 4.3 Zweifache Exponentialsummen III.- 4.4 Anmerkungen.- 5 Konvexe Koerper.- 5.1 Geometrische Grundlagen.- 5.2 Analytische Funktionen der konvexen Koerper.- 5.2.1 Analytische Funktionen der Ellipsoide.- 5.2.2 Die Kappafunktion eines konvexen Koerpers.- 5.2.3 Die Thetafunktion eines konvexen Koerpers.- 5.2.4 Die Hlawkasche Zetafunktion.- 5.3 Gitterpunkte.- 5.3.1 Elementare Abschatzungen.- 5.3.2 Kreis und Kugel.- 5.3.3 Allgemeine konvexe Koerper.- 5.3.4 Existenz von Randpunkten mit Krummung 0.- 5.3.5 Anmerkungen.- 6 Literaturverzeichnis.- 7 Index.
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