Analysis
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Analysis
Lightning Source UK, 2009
6., durchges. Aufl
- 1
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注記
Originally published: Berlin ; Tokyo : Springer-Verlag , c2004, in series: Springer-Lehrbuch <BA07913989>
"Mit 161 abbildungen und 250 aufgaben samt ausgearbeiteten lösungen"--T.p.
Includes bibliographies and index
内容説明・目次
内容説明
Bereits in 6. Auflage prasentiert das erfolgreiche Lehrbuch den Kanon der Analysis einer Veranderlichen. Durch die zahlreichen Beispiele und und UEbungsaufgaben mit Loesungen eignet es sich bestens als Begleit-Literatur zu einer Vorlesung, zum Selbststudium und zur Prufungsvorbereitung. Die vielen historischen Anmerkungen und eingestreuten Perlen der klassischen Analysis geben diesem Lehrbuch seinen besonderen Reiz.
目次
1 Naturliche Zahlen und vollstandige Induktion.- 1.1 Vollstandige Induktion.- 1.2 Fakultat und Binomialkoeffizienten.- 1.3 Aufgaben.- 2 Reelle Zahlen.- 2.1 Die Koerperstruktur von ?.- 2.2 Die Anordnung von ?.- 2.3 Die Vollstandigkeit von ?.- 2.4 ? ist nicht abzahlbar.- 2.5 Aufgaben.- 3 Komplexe Zahlen.- 3.1 Der Koerper der komplexen Zahlen.- 3.2 Die komplexe Zahlenebene.- 3.3 Algebraische Gleichungen in ?.- 3.4 Die Unmoeglichkeit einer Anordnung von ?.- 3.5 Aufgaben.- 4 Funktionen.- 4.1 Grundbegriffe.- 4.2 Polynome.- 4.3 Rationale Funktionen.- 4.4 Aufgaben.- 5 Folgen.- 5.1 Konvergenz von Flogen.- 5.2 Rechenregeln.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Eine Rekursionsfolge zur Berechnung von Quadratwurzeln.- 5.5 Der Satz von Bolzano-Weierstrass.- 5.6 Das Konvergenzkriterium von Bolzano-Cauchy. Nochmals die Vollstandigkeit von ?.- 5.7 Uneigentliche Konvergenz.- 5.8 Aufgaben.- 6 Reihen.- 6.1 Konvergenz von Reihen.- 6.2 Konvergenzkriterien.- 6.3 Summierbare Familien.- 6.4 Potenzreihen.- 6.5 Aufgaben.- 7 Stetige Funktionen. Grenzwerte.- 7.1 Stetigkeit.- 7.2 Rechnen mit stetigen Funktionen.- 7.3 Erzeugung stetiger Funktionen durch normal konvergente Reihen.- 7.4 Stetige reelle Funktionen auf Intervallen. Der Zwischenwertsatz.- 7.5 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Der Satz vom Maximum und Minimum.- 7.6 Anwendung: Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 7.7 Stetige Fortsetzung. Grenzwerte von Funktionen.- 7.8 Einseitige Grenzwerte. Uneigentliche Grenzwerte.- 7.9 Aufgaben.- 8 Die Exponentialfunktionund die trigonometrischen Funktionen.- 8.1 Definition der Exponentialfunktion.- 8.2 Die Exponentialfunktion fur reelle Argumente.- 8.3 Der naturliche Logarithmus.- 8.4 Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen. Allgemeine Potenzen.- 8.5 Binomialreihen und Logarithmusreihe.- 8.6 Definition der trigonometrischen Funktionen.- 8.7 Nullstellen und Periodizitat.- 8.8 Die Arcus-Funktionen.- 8.9 Polarkoordinaten komplexer Zahlen.- 8.10 Geometrie der Exponentialabbildung. Hauptzweig des komplexen Logarithmus und des Arcustangens.- 8.11 Die Zahl ?.- 8.12 Die hyperbolischen Funktionen.- 8.13 Aufgaben.- 9 Differentialrechnung.- 9.1 Die Ableitung einer Funktion.- 9.2 Ableitungsregeln.- 9.3 Mittelwertsatz und Schrankensatz.- 9.4 Beispiele und Anwendungen.- 9.5 Reihen differenzierbarer Funktionen.- 9.6 Ableitungen hoeherer Ordnung.- 9.7 Konvexitat.- 9.8 Konvexe Funktionen und Ungleichungen.- 9.9 Fast uberall differenzierbare Funktionen. Verallgemeinerter Schrankensatz.- 9.10 Der Begriff der Stammfunktion.- 9.11 Eine auf ganz ? stetige, nirgends differenzierbare Funktion.- 9.12 Aufgaben.- 10 Lineare Differentialgleichungen.- 10.1 Eindeutigkeitssatz und Dimensionsabschatzung.- 10.2 Ein Fundamentalsystem fur die homogene Gleichung.- 10.3 Partikulare Loesungen bei speziellen Inhomogenitaten.- 10.4 Anwendung auf Schwingungsprobleme.- 10.5 Partikulare Loesungen bei allgemeinen Inhomogenitaten.- 10.6 Erweiterung des Loesungsbegriffes.- 10.7 Aufgaben.- 11 Integralrechnung.- 11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration.- 11.2 Regelfunktionen.- 11.3 Integration der Regelfunktionen uber kompakte Intervalle.- 11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Stammfunktionen zu Regelfunktionen.- 11.5 Erste Anwendungen.- 11.6 Integration elementarer Funktionen.- 11.7 Integration normal konvergenter Reihen.- 11.8 Riemannsche Summen.- 11.9 Integration uber nicht kompakte Intervalle.- 11.10 Die Eulersche Summationsformel.- 11.11 Aufgaben.- 12 Geometrie differenzierbarer Kurven.- 12.1 Parametrisierte Kurven. Grundbegriffe.- 12.2 Die Bogenlange.- 12.3 Parameterwechsel.- 12.4 Krummung ebener Kurven.- 12.5 Die Sektorflache ebener Kurven.- 12.6 Kurven in Polarkoordinaten.- 12.7 Liftung und Windungzahlen.- 12.8 Noch ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.- 12.9 Geometrie der Planetenbewegung Die drei Keplerschen Gesetze.- 12.10 Aufgaben.- 13 Elementar integrierbare Differentialgleichungen.- 13.1 Wachstumsmodelle. Lineare und Bernoullische Gleichungen.- 13.2 Differentialgleichungen mit getrennten Veranderlichen.- 13.3 Nicht-lineare Schwingungen. Die Differentialgleichung
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$$
\ddot x = f(x)
$$.- 13.4 Aufgaben.- 14 Lokale Approximation von Funktionen. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 14.1 Approximation durch Taylorpolynome.- 14.2 Taylorreihen. Rechnen mit Potenzreihen.- 14.3 Bernoulli-Zahlen und Cotangensreihe. Bernoulli-Polynome.- 14.4 Das Newton-Verfahren.- 14.5 Aufgaben.- 15 Globale Approximation von Funktionen. Gleichmassige Konvergenz.- 15.1 Gleichmassige Konvergenz.- 15.2 Vertauschungssatze.- 15.3 Kriterien fur gelichmassige Konvergenz.- 15.4 Anwendung: dei Eulerschen Formeln fur ?(2n).- 15.5 Approximation durch Faltung mit Dirac-Folgen.- 15.6 Lokal gleichmassige Konvergenz. Der UEberdeckungssatz von Heine-Borel.- 15.7 Der Approximationssatz von Stone.- 15.8 Aufgaben.- 16 Approximation periodischer Funktionen. Fourierreihen.- 16.1 Der Approximationssatz von Fejer.- 16.2 Definition der Fourierreihen. Erste Beispiele und Anwendungen.- 16.3 Punktweise Konvergenz nach Dirichlet.- 16.4 Ein Beispiel von Fejer.- 16.5 Die Besselsche Approximation periodischer Funktionen.- 16.6 Fourierreihen stuckweise stetig differenzierbarer Funktionen.- 16.7 Konvergenz im quadratischen Mittel. Die Parsevalsche Gleichung.- 16.8 Anwendung: das isoperimetrische Problem.- 16.9 Warmeleitung in einem Ring. Die Thetafunktion.- 16.10 Die Poissonsche Summenformel.- 16.11 Aufgaben.- 17 Die Gammafunktion.- 17.1 Die Gammafunktion nach Gauss.- 17.2 Der Eindeutigkeitssatz der Gammafunktion von Bohr und Mollerup. Die Eulersche Integraldarstellung.- 17.3 Die Stirlingsche Formel.- 17.4 Aufgaben.- Biographische Notiz zu Ewer.- Loesungen zu den Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
「Nielsen BookData」 より