Grundlagen der Mathematik

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Grundlagen der Mathematik

D. Hilbert und P. Bernays

（Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 40, 50）

Springer, 1968-1970

2. Aufl

  • v. 1
  • v. 1 : pbk
  • v. 2
  • v. 2 : pbk

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Note

Originally published 1934-1939

Includes bibliographical references and indexes

Description and Table of Contents

Volume

v. 1 : pbk ISBN 9783642868955

Description

Die Leitgedanken meiner Untersuchungen uber die Grundlagen der Mathematik, die ich - anknupfend an fruhere Ansatze - seit 1917 in Besprechungen mit P. BERNAYS wieder aufgenommen habe, sind von mir an verschiedenen Stellen eingehend dargelegt worden. Diesen Untersuchungen, an denen auch W. ACKERMANN beteiligt ist, haben sich seither noch verschiedene Mathematiker angeschlossen. Der hier in seinem ersten Teil vorliegende, von BERNAYS abgefasste und noch fortzusetzende Lehrgang bezweckt eine Darstellung der Theorie nach ihren heutigen Ergebnissen. Dieser Ergebnisstand weist zugleich die Richtung fur die weitere Forschung in der Beweistheorie auf das Endziel hin, unsere ublichen Methoden der Mathematik samt und sonders als widerspruchsfrei zu erkennen. Im Hinblick auf dieses Ziel moechte ich hervorheben, dass die zeit weilig aufgekommene Meinung, aus gewissen neueren Ergebnissen von GOEDEL folge die Undurchfuhrbarkeit meiner Beweistheorie, als irrtum lich erwiesen ist. Jenes Ergebnis zeigt in der Tat auch nur, dass man fur die weitergehenden Widerspruchsfreiheitsbeweise den finiten Stand punkt in einer scharferen Weise ausnutzen muss, als dieses bei der Be trachtung der elementaren Formallsmen erforderlich ist. Goettingen, im Marz 1934 HILBERT Vorwort zur ersten Auflage Eine Darstellung der Beweistheorie, welche aus dem HILBERTschen Ansatz zur Behandlung der mathematisch-logischen Grundlagenpro bleme erwachsen ist, wurde schon seit langerem von HILBERT ange kundigt.

Table of Contents

  • 1. Das Problem der Widerspruchsfreiheit in der Axiomatik als logisches Entscheidungsproblem.- a) Formale Axiomatik.- 1. Verhaltnis der formalen zur inhaltlichen Axiomatik
  • Frage der Widerspruchsfreiheit
  • Arithmetisierung.- 2. Geometrische Axiome als Beispiel.- 3. Rein logische Fassung der Axiomatik.- b) Das Entscheidungsproblem.- 1. Allgemeingultigkeit und Erfullbarkeit.- 2. Entscheidung fur endliche Individuenbereiche.- 3. Methode der Aufweisung.- c) Die Frage der Widerspruchsfreiheit bei unendlichem Individuenbereich.- 1. Formeln, die nicht im Endlichen erfullbar sind
  • die Zahlenreihe als Modell.- 2. Problematik des Unendlichen.- 3. Nachweis der Widerspruchsfreiheit als Unmoeglichkeitsbeweis
  • Methode der Arithmetisierung.- 2. Die elementare Zahlentheorie. - Das finite Schliessen und seine Grenzen.- a) Die Methode der anschaulichen UEberlegung und ihre Anwendung in der elementaren Zahlentheorie.- 1. Begriff der Ziffer
  • Beziehung "kleiner"
  • Addition.- 2. Rechengesetze
  • vollstandige Induktion
  • Multiplikation
  • Teilbarkeit
  • Primzahl.- 3. Rekursive Definitionen.- 4. Unmoeglichkeitsbeweis.- b) Weitere Anwendungen anschaulicher UEberlegungen.- 1. Beziehung zwischen Zahlentheorie und Anzahlenlehre.- 2. Standpunkt der formalen Algebra.- c) Der finite Standpunkt
  • UEberschreitung dieses Standpunktes bereits in der Zahlentheorie.- 1. Logische Charakterisierung des finiten Standpunktes.- 2. Das "tertium non datur" fur ganze Zahlen
  • das Prinzip der kleinsten Zahl.- d) Nichtfinite Methoden in der Analysis.- 1. Verschiedene Definitionen der reellen Zahl.- 2. Obere Grenze einer Zahlenfolge
  • obere Grenze einer Zahlenmenge.- 3. Das Auswahlprinzip.- e) Untersuchungen zur direkten finiten Begrundung der Arithmetik
  • Ruckkehr zur fruheren Problemstellung
  • die Beweistheorie.- 3. Die Formalisierung des logischen Schliessens I: Der Aussagenkalkul.- a) Theorie der Wahrheitsfunktionen.- 1. Die Wahrheitsfunktionen und ihre Schemata.- 2. Ersetzbarkeit
  • Ersetzungsregeln.- 3. Beispiele von Ersetzbarkeiten.- 4. Dualitat
  • konjunktive und disjunktive Normalform
  • identisch wahre Ausdrucke
  • Entscheidungsverfahren.- 5. Ausgezeichnete Normalform
  • Entscheidung uber Ersetzbarkeit
  • Beispiele.- b) Anwendung der Theorie der Wahrheitsfunktionen auf das logische Schliessen
  • Formalisierung aussagenlogischer Schlusse mittels der identisch wahren Ausdrucke, der Einsetzungsregel und des Schlussschemas.- c) Deduktive Aussagenlogik.- 1. Problemstellung.- 2. Ein System der deduktiven Aussagenlogik
  • Vollstandigkeitseigenschaften dieses Systems.- 3. Positive Logik
  • regulare Implikationsformeln
  • positiv identische Implikationsformeln
  • Moeglichkeiten der Kurzung.- d) Unabhangigkeitsbeweise nach der Methode der Wertung.- 1. Die logische Interpretation als Wertung
  • das allgemeine Verfahren.- 2. Unabhangigkeitsbeweise fur das aufgestellte System
  • noch ein weiterer Unabhangigkeitsbeweis.- 3. Anwendung der Wertungsmethode auf die Frage der Vertretbarkeit von Formeln durch Schemata.- e) Ruckkehr zu der unter b) betrachteten Art der Formalisierung des Schliessens
  • abkurzende Regeln
  • Bemerkung uber den Fall eines Widerspruchs.- 4. Die Formalisierung des Schliessens II: Der Pradikatenkalkul.- a) Einfuhrung der Individuenvariablen
  • Begriff der Formel
  • Einsetzungsregel
  • Beispiel
  • Vergleich mit dem inhaltlichen Schliessen.- b) Die gebundenen Variablen und die Regeln fur Allzeichen und Seinszeichen.- 1. Unzulanglichkeit der freien Variablen.- 2. Einfuhrung der gebundenen Variablen
  • Allzeichen und Seinszeichen
  • Regel der Umbenennung
  • Vermeidung von Mehrdeutigkeiten
  • Erweiterung des Begriffs der Formel sowie der Einsetzungsregel.- 3. Heuristische Einfuhrung der Regeln fur die Allzeichen und Seinszeichen
  • inhaltliche Deutung der Formeln und Schemata.- 4. Zusammenstellung der Regeln des Pradikatenkalkuls
  • Darstellung der Formen kategorischer Urteile
  • Ausschluss des leeren Individuenbereichs.- c) Ausfuhrung von Ableitungen.- 1. Einige abgeleitete Regeln.- 2. Ableitung von Formeln.- d) Systematische Fragen.- 1. Begriff der k-zahlig identischen Formel und der im Endlichen identischen Formel
  • deduktive Abgeschlossenheit der Gesamtheit der k-zahlig identischen Formeln
  • Widerspruchsfreiheit des Pradikatenkalkuls
  • Vollstandigkeitsfragen.- 2. Exkurs uber die mengentheoretische Pradikatenlogik
  • Vorlaufiges zu den Fragen der Vollstandigkeit
  • das Entscheidungsproblem und seine Verscharfung unter dem deduktiven Gesichtspunkt.- e) Betrachtungen uber den Formalismus des Pradikatenkalkuls.- 1. Begriff der UEberfuhrbarkeit
  • abgeleitete Regeln.- 2. UEberfuhrung von Formeln in pranexe Formeln
  • Beispiele
  • Abgrenzung von Fallen der Loesung des Entscheidungsproblems an Hand der pranexen Normalform.- 3. Zerlegung einer Formel des einstelligen Pradikatenkalkuls in Primarformeln
  • Beispiel.- f) Deduktionsgleichheit und Deduktionstheorem.- 1. Begriff der Deduktionsgleichheit
  • zwei wesentliche Falle von Deduktionsgleichheit
  • UEberfuhrbarkeit und Deduktionsgleichheit.- 2. Das Deduktionstheorem.- 3. Anwendungen des Deduktionstheorems: Zuruckfuhrung axiomatischer Fragen auf solche der Ableitbarkeit von Formeln des Pradikatenkalkuls
  • erleichterte Feststellung der Ableitbarkeit
  • Betrachtung einer gebrauchlichen Schlussweise.- 4. Deduktionsgleichheit einer jeden Formel mit einer Skolemschen Normalform sowie auch mit einer Normaldisjunktion
  • Vereinfachung des UEberganges.- 5. Hinzunahme der Identitat. Vollstandigkeit des einstelligen Pradikatenkalkuls.- a) Erweiterung des Formalismus.- 1. Das Gleichheitszeichen
  • Darstellung von Anzahlaussagen
  • die Gleichheitsaxiome und die formalen Eigenschaften der Identitat.- 2. Verwendung der Gleichheitsaxiome zu Umformungen, insbesondere solchen von Anzahlbedingungen
  • Anzahlformeln.- 3. Zerlegung einer Formel des erweiterten einstelligen Pradikatenkalkuls in Primarformeln.- 4. Ausdehnung des Begriffes der k-zahlig identischen Formel
  • deduktive Abgeschlossenheit der Gesamtheit der k-zahlig identischen Formeln
  • Eindeutigkeitsbetrachtung.- 5. Hinzunahme von Funktionszeichen
  • Begriff des Terms
  • ableitbare Formeln.- b) Loesung von Entscheidungsproblemen
  • Vollstandigkeitssatze.- 1. Entscheidung uber die Ableitbarkeit solcher pranexer Formeln des Pradikatenkalkuls, bei denen jedes Allzeichen jedem Seinszeichen vorhergeht
  • Entscheidbarkeit im Endlichen.- 2. Ableitbarkeit einer jeden im Endlichen identischen Formel des einstelligen Pradikatenkalkuls, Nachweis mit Hilfe des vorherigen Entscheidungsverfahrens
  • ein mengentheoretischer Nachweis und seine finite Verscharfung.- 3. Deduktionsgleiche Normalform fur eine Formel des erweiterten einstelligen Pradikatenkalkuls.- 4. Vollstandigkeitssatze fur den erweiterten einstelligen Pradikatenkalkul.- 6. Widerspruchsfreiheit unendlicher Individuenbereiche. Anfange der Zahlentheorie.- a) UEberleitung von der Frage der Unableitbarkeit gewisser im Endlichen identischer Formeln des Pradikatenkalkuls zur Frage der Widerspruchsfreiheit eines zahlentheoretischen Axiomensystems.- 1. Ersetzung der Formelvariablen durch Pradikatensymbole
  • eine Abhangigkeit zwischen den betrachteten Formeln.- 2. Einbeziehung der Gleichheitsaxiome
  • die Dedekindsche Unendlichkeitsdefinition
  • Einfuhrung des Strichsymbols.- 3. UEbergang zu Axiomen ohne gebundene Variablen unter Verscharfung der Existenzaxiome
  • das Symbol 0
  • Ziffern im neuen Sinne
  • Peanosche Axiome
  • Zusammenstellung der erhaltenen Axiome.- b) Allgemein logischer Teil des Nachweises der Widerspruchsfreiheit.- 1. Spezialisierung der Endformel
  • Ausschluss gebundener Variablen
  • Aufloesung in Beweisfaden.- 2. Ruckverlegung der Einsetzungen
  • Ausschaltung der freien Variablen
  • numerische Formeln
  • Definition von "wahr" und "falsch"
  • "Wahrheit" einer jeden ohne Benutzung gebundener Variablen ableitbaren Formel.- 3. Einbeziehung der gebundenen Variablen
  • Massregel zur Erhaltung der Schemata bei der Ruckverlegung der Einsetzungen
  • Unzulanglichkeit des bisherigen Verfahrens.- c) Durchfuhrung des Nachweises der Widerspruchsfreiheit mittels eines Reduktionsverfahrens.- 1. Ausschaltung der Allzeichen
  • die Reduktionsschritte
  • Begriff der Reduzierten.- 2. Verifizierbare Formeln
  • Eindeutigkeitssatz
  • Hilfssatze.- 3. Verifizierbarkeit einer jeden ableitbaren, von Formelvariablen freien Formel
  • Wiedereinbeziehung der Allzeichen
  • Ersetzbarkeit von Axiomen durch Axiomenschemata.- d) UEbergang zu einem (im Bereich der Formeln ohne Formelvariablen) deduktiv abgeschlossenen Axiomensystem.- 1. Unableitbarkeit gewisser verifizierbarer Formeln durch das betrachtete Axiomensystem
  • Nachweis mit Hilfe von "Ziffern zweiter Art".- 2. Ansatz zur Vervollstandigung des Axiomensystems
  • Ableitbarkeit einer Reihe von AEquivalenzen als hinreichende Bedingung.- 3. Deduktive Zuruckfuhrung der AEquivalenzen auf funf zu den Axiomen hinzuzufugende Formeln
  • Vereinfachungen
  • das System (A).- 4. Vollstandigkeitseigenschaften des Systems (A).- e) Einbeziehung der vollstandigen Induktion.- 1. Formalisierung des Prinzips der vollstandigen Induktion durch eine Formel oder durch ein Schema
  • Gleichwertigkeit der beiden Formalisierungen
  • Unverandertheit des Bereiches der ableitbaren Formeln ohne Formelvariablen bei der Hinzunahme des Induktionsschemas zu dem System (A).- 2. Vereinfachung des Axiomensystems bei Hinzunahme des Induktionsaxioms
  • das System (B).- f) Unabhangigkeitsbeweise.- 1. Unableitbarkeit des Induktionsaxioms aus dem System (A).- 2. Unabhangigkeitsbeweise mittels eines Substitutionsverfahrens.- 3. Feststellung der ubrigen Unabhangigkeiten durch Modifikationen des Reduktionsverfahrens.- g) Darstellung des Prinzips der kleinsten Zahl durch eine Formel
  • Gleichwertigkeit dieser Formel mit dem Induktionsaxiom bei Zugrundelegung der ubrigen Axiome des Systems (B).- 7. Die rekursiven Definitionen.- a) Grundsatzliche Eroerterungen.- 1. Das einfachste Schema der Rekursion
  • Formalisierung des anschaulichen Berechnungsverfahrens
  • Gegenuberstellung von expliziter und rekursiver Definition.- 2. Nachweis der Widerspruchsfreiheit der Hinzunahme rekursiver Definitionen im Rahmen des elementaren Kalkuls mit freien Variablen
  • Einbeziehung des Induktionsschemas.- 3. Unmoeglichkeit, die Widerspruchsfreiheit der rekursiven Definitionen schon aus der Widerspruchsfreiheit des vorherigen Axiomensystems zu folgern
  • Ersetzbarkeit arithmetischer Axiome durch rekursive Definitionen
  • explizite Definition von " Produkte mit variabler Gliederzahl
  • Darstellung von allgemeinen und existentialen Aussagen uber Zahlen ?n, sowie von Maximum- und Minimumausdrucken.- 3. Teilbarkeit
  • Division mit Rest
  • kleinster von 1 verschiedener Teiler
  • Reihe der Primzahlen
  • Zerlegung der Zahlen in Primfaktoren
  • umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Zahlen > 1 und den endlichen Folgen von Zahlen
  • Numerierung der Zahlenpaare
  • groesster gemeinsamer Teiler
  • kleinstes gemeinsames Vielfaches.- c) Erweiterungen des Schemas der Rekursion und des Induktionsschemas.- 1. Rekursionen, die sich auf das einfachste Rekursionsschema (die primitive Rekursion) zuruckfuhren lassen: Wertverlaufsrekursionen, simultane Rekursionen.- 2. Verschrankte Rekursionen
  • Unzuruckfuhrbarkeit gewisser verschrankter Rekursionen auf primitive Rekursionen.- 3. Erweiterte Induktionsschemata
  • ihre Entbehrlichkeit.- d) Vertretbarkeit rekursiver Funktionen
  • UEbergang zu einem fur die Zahlentheorie ausreichenden Axiomensystem.- 1. Ruckkehr zum vollen Formalismus
  • das System (C)
  • Begriff einer wesentlichen Erweiterung eines Formalismus
  • Beispiele von nicht wesentlichen Erweiterungen
  • Vertretbarkeit einer Funktion.- 2. Nachweis, dass die Summe und die Differenz im Formalismus des Systems (B) nicht vertretbare Funktionen sind
  • die Rekursionsgleichungen fur die Summe als Axiome
  • das System (D).- 3. Nachweis der Widerspruchsfreiheit und Vollstandigkeit des Systems (D) nach der Methode der Reduktion
  • Unvertretbarkeit des Produktes im Formalismus des Systems (D).- 4. Veranderte Situation bei Hinzunahme der Rekursionsgleichungen fur das Produkt
  • das System (Z).- e) Erganzende Betrachtungen uber die Gleichheitsaxiome.- 1. Ersetzung des zweiten Gleichheitsaxioms durch speziellere Axiome.- 2. Anwendung auf die Axiomensysteme (A), (B), (Z).- 3. Anwendung auf das Entscheidungsproblem
  • Eliminierbarkeit der Gleichheitsaxiome aus einer Ableitung einer Formel des Pradikatenkalkuls.- 8. Der Begriff "derjenige, welcher" und seine Eliminierbarkeit.- a) Die ?-Regel und ihre Handhabung.- 1. Inhaltliche Eroerterung
  • Einfuhrung der ?-Regel
  • Vermeidung von Kollisionen
  • Darstellung von Funktionen durch ?-Terme.- 2. Einlagerung und UEberordnung
  • abkurzende Symbole.- 3. Die Funktion ? (A)
  • Formalisierung des Begriffs der kleinsten Zahl durch die Funktion ?xA (x)
  • Eindeutigkeitsformeln.- b) Deduktive Entwicklung der Zahlentheorie auf Grund des Axiomensystems (Z) unter Hinzunahme des formalisierten Begriffs der kleinsten Zahl.- 1. Begriff "kleiner"
  • Kongruenz
  • Division mit Rest
  • Teilbarkeit
  • zueinander prime Zahlen.- 2. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei Zahlen und von einer endlichen Folge von Zahlen
  • Maximum einer endlichen Folge von Zahlen.- c) Zuruckfuhrung primitiver Rekursionen auf explizite Definitionen mittels der Funktion ?xA (x) bei Zugrundelegung des Systems (Z).- 1. Heuristischer Ansatz.- 2. Formale Durchfuhrung
  • Moeglichkeit der Verallgemeinerung des Verfahrens.- d) Die Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen (der ? -Symbole).- 1. Erweiterung der ?-Regel, Verhaltnis zur ursprunglichen ?-Regel, die Terme ?(d)xA (x).- 2. Der Ansatz von Rosser und seine Vereinfachung durch Hasenjaeger. Einsetzung von ?-Termen, das Axiom {?}, Beschaffenheit der in Frage stehenden formalen Systeme.- 3. Erklarung der "Reduzierten" einer Formel und Zuruckfuhrung des zu erbringenden Nachweises auf den Beweis der ?-freien Herleitbarkeit der nach einem gewissen Schema gebildeten Formeln.- 4. Durchfuhrung dieses Beweises.- 5. Formulierung des Eliminationstheorems, UEberfuhrbarkeit jeder Formel in ihre Reduzierte, Vergleich verschiedener Eliminationsverfahren.- e) Folgerungen aus der Eliminierbarkeit der Kennzeichnungen.- 1. Die Vertretbarkeit der rekursiven Funktionen im System (Z).- 2. Allgemeines Verfahren der Ausschaltung von Funktionszeichen durch Einfuhrung von Pradikatensymbolen
  • Ausschaltung von Individuensymbolen.- 3. Durchfuhrung des Verfahrens an dem System (Z)
  • Ausblick auf weitere Fragestellungen.- f) Nachtrag: Ausdehnung des Satzes uber die Vertretbarkeit des Gleichheitsaxioms (J2) bei Hinzunahme der ?-Regel.- Namenverzeichnis.
Volume

v. 2 : pbk ISBN 9783642868979

Description

Der vorliegende Band schliesst die Darstellung der Beweistheorie ab, die ich vor einigen Jahren zusammen mit P. BERNAYS begann. Auf meinen Wunsch hat P. BERNAYS wieder die Abfassung des Textes uber nommen. Ich danke ihm fur die Sorgfalt und Treue, mit der er meine Gedanken wiedergegeben hat, an deren Entwicklung er in jahrelanger Zusammenarbeit aufs starkste beteiligt war. Ohne seine Mithilfe ware die Vollendung dieses Buches unmoeglich gewesen. Den Herren W. ACKERMANN, G. GENTZEN, A. SCHMIDT, H. SCHOLZ danke ich fur ihre freundliche Mitwirkung bei den Korrekturen. Goettingen, im Marz 1939 HILBERT Zur Einfuhrung Das vorliegende Buch soll einer eingehenden Orientierung uber den gegenwartigen Stoff der HILBERTschen Beweistheorie dienen. Wenn gleich das bisher hier Erreichte gemessen an den Zielen der Theorie sehr bescheiden ist, so liegt doch ein reichlicher Stoff an pragnanten Ergebnissen, an Gesichtspunkten und Beweisgedanken vor, die zur Kenntnis zu bringen als lohnend erscheint. Fur die inhaltliche Gestaltung dieses zweiten Bandes waren durch den Zweck des Buches zwei Hauptthemata vorgezeichnet. - Es handelte sich einmal darum, die hauptsachlichen, an das e-Symbol sich knupfenden beweistheoretischen Ansatze HILBERTS und ihre Durchfuhrung zur ein gehenden Darstellung zu bringen.

Table of Contents

  • 1. Die Methode der Elimination der gebundenen Variablen mittels des Hileertschen ?-Symbols.- 1. Der Prozess der symbolischen Aufloesung von Existenzialformeln.- 2. Das Hilbertsche ?-Symbol und die ?-Formel.- 3. Beweis des ersten ?-Theorems.- a) Vorbereitungen.- b) Der Hilbertsche Ansatz.- c) Arten der Zusammensetzung von ?-Symbolen
  • Grad und Rang von ?-Termen.- d) Elimination der kritischen Formeln im allgemeinen Falle.- e) Erweiterung des Ergebnisses.- 4. Nachweise von Widerspruchsfreiheit.- a) Ein allgemeines Widerspruchsfreiheitstheorem.- b) Anwendung auf die Geometrie.- 2. Beweistheoretische Untersuchung der Zahlentheorie mittels der an das ?-Symbol sich knupfenden Methoden.- 1. Anwendung des Wf.-Theorems auf die Zahlentheorie.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das erste ?-Theorem.- a) Vorbereitende UEberlegungen
  • Grundtypus
  • Formeln der ?-Gleichheit.- b) Gemeinsame Elimination der kritischen Formeln und der Formeln der ?-Gleichheit.- c) Verscharfte Fassung des ersten ?-Theorems und des Wf.-Theorems.- 3. Hindernisse fur die Einbeziehung des unbeschrankten Induktionsschemas in das Eliminationsverfahren. Formalisierung des Induktionsprinzips mit Hilfe einer zweiten Formel fur das ?-Symbol. UEberleitung zu dem ursprunglichen Hilbertschen Ansatz.- 4. Der ursprungliche Hilbertsche Ansatz zur Ausschaltung der ?-Symbole und seine weitere Verfolgung.- a) Einfachste Falle.- b) Vorbereitungen zur Behandlung des allgemeinen Falles.- c) Durchfuhrung des Hilbertschen Ansatzes bei Beschrankung auf ?-Terme vom Range 1.- d) Bildung einer Aufeinanderfolge von Gesamtersetzungen im allgemeinen Fall.- e) Nachweis der Bestimmbarkeit einer Resolvente im Falle, dass alle kritischen Formeln solche von erster Art sind.- f) Versagen der Beweismethode bei der Hinzunahme kritischer Formeln zweiter Art von beliebigem Rang. Erganzung des vorherigen Resultates.- g) Verwertung des erhaltenen Ergebnisses fur das Wf.-Theorem.- 3. Anwendung des ?-Symbols auf die Untersuchung des logischen Formalismus.- 1. Das zweite ?-Theorem.- 2. Einbeziehung des allgemeinen Gleichheitsaxioms in das zweite ?-Theorem Anknupfende Eliminationsbetrachtungen.- 3. Der Herbrandsche Satz.- 4. Kriterien der Widerlegbarkeit im reinen Pradikatenkalkul.- 5. Anwendung der erhaltenen Kriterien auf das Entscheidungsproblem.- a) Allgemeines uber Erfullbarkeit. Die erfullungstheoretische Skolemsche Normalform.- b) Der Loewenheimsche Satz und der Goedelsche Vollstandigkeitssatz.- c) Berucksichtigung der Anforderungen des finiten Standpunktes.- d) Behandlung eines Beispiels.- e) Erfullungstheoretische Normalformen.- 4. Die Methode der Arithmetisierung der Metamathematik in Anwendung auf den Pradikatenkalkul.- 1. Durchfuhrung einer Arithmetisierung der Metamathematik des Pradikatenkalkuls.- a) Die Nummernzuordnungen.- b) Hilfsmittel der rekursiven Zahlentheorie.- c) Arithmetisierung des Begriffes "Formel".- d) Arithmetisierung von Wahrheitswertverteilungen.- e) Arithmetisierung des Begriffes "Ableitung".- 2. Anwendung der Arithmetisierungsmethode auf den Goedelschen Vollstandigkeitssatz.- a) Formalisierung des Vollstandigkeitsbeweises.- b) Verscharfung der Erfullbarkeit zu einer Ableitbarkeit.- 5. Der Anlass zur Erweiterung des methodischen Rahmens der Beweistheorie.- 1. Grenzen der Darstellbarkeit und der Ableitbarkeit in deduktiven Formalismen.- a) Die Antinomie des Lugners
  • Tarskis Satz uber den Wahrheitsbegriff
  • das Richardsche Paradoxon.- b) Das erste Goedelsche Unableitbarkeitstheorem.- c) Das zweite Goedelsche Unableitbarkeitstheorem.- 2. Die formalisierte Metamathematik des zahlentheoretischen Formalismus.- a) Abgrenzung eines zahlentheoretischen Formalismus.- b) Bestimmung einer Nummernzuordnung fur den Formalismus (Z?).- c) Die Erfullung der Bedingung b2) durch die fur den Formalismus (Z?) gewahlte Nummernzuordnung.- d) Erfullung der Ableitbarkeitsforderungen durch den Formalismus (Z?).- e) Ausdehnung des zweiten Goedelschen Unableitbarkeitstheorems auf den Formalismus (Z). - Aufstellung einer Wahrheitsdefinition fur diesen Formalismus.- 3. UEberschreitung des bisherigen methodischen Standpunktes der Beweistheorie. - Nachweise der Widerspruchsfreiheit fur den vollen zahlentheoretischen Formalismus.- a) Betrachtungen zur Frage der Formalisierbarkeit unserer bisherigen beweistheoretischen UEberlegungen.- b) Eliminierbarkeit des "tertium non datur" fur die Untersuchung der Widerspruchsfreiheit des Systems (Z).- c) Eine spezielle Form der transfiniten Induktion und ihre Anwendung in dem Gentzenschen Widerspruchsfreiheitsbeweis fur das System (Z).- Supplement I: Zur Orientierung uber den Pradikatenkalkul und anschliessende Formalismen.- A. Der reine Pradikatenkalkul.- B. Der Pradikatenkalkul in Anwendung auf formalisierte Axiomensysteme. Die ?-Regel. Zahlentheoretische Formalismen.- C. Satze uber den Pradikatenkalkul.- D. Modifizierte Form des Pradikatenkalkuls.- Supplement II: Eine Prazisierung des Begriffs der berechenbaren Funktion und der Satz von Church uber das Entscheidungsproblem.- A. Begriff der regelrecht auswertbaren Funktion. Auswertung im Formalismus (Z Degrees).- B. Quasirekursive und regelrecht auswertbare Funktionen. Normaldarstellung. Auswertung im Formalismus (Z00). Anwendung des Cantorschen Diagonalverfahrens.- C. Die Unmoeglichkeit einer allgemeinen Loesung des Entscheidungsproblems fur den Pradikatenkalkul.- Supplement III: UEber gewisse Bereiche des Aussagenkalkuls und ihre deduktive Abgrenzung mit Hilfe von Schematen.- A. Die positiv identischen Implikationsformeln.- B. Die positiv identischen I-K-Formeln.- C. Die identischen I-K-N-Formeln.- Supplement IV: Formalismen zur deduktiven Entwicklung der Analysis.- A. Aufstellung eines Formalismus.- B. Gewinnung der Zahlentheorie.- C. Theorie der Masszahlen.- D. Theorie der reellen Zahlen. Bemerkungen Tiber die weitere Formalisierung der Analysis.- E. Theorie der Wohlordnungen der Mengen von ganzen Zahlen.- F. Modifikationen des Formalismus. Vermeidung des ?-Symbols.- G. Verwendung gebundener Formelvariablen.- Supplement V: Widerspruchsfreiheitsbeweise fur den zahlentheoretischen Formalismus.- A. Der Kalmarsche Widerspruchsfreiheitsbeweis.- B. Der Ackermannsche Widerspruchsfreiheitsbeweis.- Namenverzeichnis.

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