Partielle differentialgleichungen : sobolevraume und Randwertaufgaben
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Partielle differentialgleichungen : sobolevraume und Randwertaufgaben
（Mathematische Leitfäden）
B.G. Teubner, 1982
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Table of Contents
I Sobolevraume.- 1 Bezeichnungen, Grundbegriffe, Distributionen.- 1.1 Bezeichnungen.- 1.2 Die Partition der Eins.- 1.3 Die Regularisierung von Funktionen.- 1.4 Distributionen.- 1.5 Der Support einer Distribution.- 1.6 Differentiation und Multiplikation.- 1.7 Distributionen mit einem kompakten Trager.- 1.8 Die Convolution.- 1.9 Die Fouriertransformation.- 2 Geometrische Voraussetzungen an die Gebiete ?.- 2.1 Segment- und Kegeleigenschaften.- 2.2 Die Nk,x-Eigenschaft von ?.- 2.3 (k, ?)-Diffeomorphismen und (k, ?)-glatte ?'s.- 2.4 Normale Transformationen.- 2.5 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten.- 3 Definitionen und Dichteeigenschaften der Sobolev-Slobodeckijschen Raume W2l(?).- 3.1 Definitionen der Sobolev-Slobodeckijschen Raume W2l(?).- 3.2 Dichteeigenschaften.- 4 Der Transformationssatz und Sobolevraume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 4.1 Der Transformationssatz.- 4.2 Sobolevraume auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.- 5 Die Definition der Sobolevschen Raume durch die Fouriertransformation und Fortsetzungssatze.- 5.1 Sobolevraume und die Fouriertransformation.- 5.2 Fortsetzungssatze.- 6 Stetige Einbettungen und das Lemma von Sobolev.- 7 Kompakte Einbettungen.- 8 Der Spuroperator.- 9 Die schwache Folgenkompaktheit und die Approximation der Ableitungen durch Differenzenquotienten.- II Elliptische Differentialoperatoren.- 10 Lineare Differentialoperatoren.- 11 Die Bedingung von Lopatinskij-Sapiro und Beispiele.- 11.1 Die Bedingung von Lopatinskij-Sapiro.- 11.2 Beispiele.- 12 Fredholmoperatoren.- 12.1 Der Spektralsatz von Riesz-Schauder (kompakte Operatoren).- 12.2 Fredholmoperatoren.- 12.3 A-priori-Abschatzungen, Weylsches Lemma und glattbare Operatoren.- 13 Der Hauptsatz und einige Satze uber den Index von elliptischen Randwertproblemen.- 13.1 Der Hauptsatz fur elliptische Randwertprobleme.- 13.2 Index und Spektrum von elliptischen Randwertaufgaben.- 14 Die Greenschen Formeln.- 14.1 Normale Randwertoperatoren und Dirichletsysteme.- 14.2 Die erste Greensche Formel.- 14.3 Adjungierte Randwertoperatoren und Randwertraume.- 14.4 Die zweite Greensche Formel.- 14.5 Der antiduale Operator L? und die adjungierte Randwertaufgabe.- 15 Die adjungierte Randwertaufgabe und der Zusammenhang mit dem Bildraum des ursprunglichen Operators.- 16 Beispiele.- III Stark elliptische Differentialoperatoren und die Variationsmethode.- 17 Gelfandsche Dreier, der Satz von Lax-Milgram, V-elliptische und V-koerzive Operatoren.- 17.1 Gelfandsche Dreier.- 17.2 Darstellungen fur Funktionale auf Sobolevraumen.- 17.3 Der Satz von Lax-Milgram.- 17.4 V-elliptische und V-koerzive Formen, Loesungssatze.- 17.5 Der Greensche Operator.- 17.6 Die Begriffe V-elliptisch und V-koerziv fur Differentialoperatoren.- 18 Die Bedingung von Agmon.- 19 Der Satz von Agmon: Bedingungen fur die V-Koerzivitat von stark elliptischen Differentialoperatoren.- 19.1 Die Satze von Garding und Agmon.- 19.2 Beispiele, u. a. das Dirichletproblem fur stark elliptische Differentialoperatoren.- 20 Die Regularitat der Loesungen von stark elliptischen Gleichungen.- 21 Der Loesungssatz fur stark elliptische Gleichungen und Beispiele.- 22 Der Schaudersche Fixpunktsatz und eine nichtlineare Aufgabe.- 23 Elliptische Randwertaufgaben fur unbeschrankte Gebiete.- IV Parabolische Differentialoperatoren.- 24 Das Bochner-Integral.- 24.1 Der Satz von Pettis.- 24.2 Das Bochner-Integral.- 25 Distributionen mit Werten in Hilbertraumen H und der Raum W(0, T).- 26 Die Existenz und Eindeutigkeit der Loesung einer parabolischen Differentialgleichung.- 27 Die Regularitat der Loesungen der parabolischen Differentialgleichung.- 27.1 Ein abstrakter Regularitatssatz.- 27.2 Differenzierbarkeit nach t.- 27.3 Differenzierbarkeit nach x.- 28 Beispiele.- V Hyperbolische Differentialoperatoren.- 29 Die Existenz und Eindeutigkeit der Loesung.- 30 Die Regularitat der Loesungen der hyperbolischen Differentialgleichung.- 30.1 Ein abstrakter Regularitatssatz.- 30.2 Differenzierbarkeit nach t.- 30.3 Differenzierbarkeit nach x.- 31 Beispiele.- VI Differenzenverfahren zur Berechnung der Loesung einer partiellen Differentialgleichung.- 32 Der funktionalanalytische Rahmen fur Differenzenverfahren.- 33 Differenzenverfahren fur elliptische Differentialgleichungen und fur die Wellengleichung.- 33.1 Einige wichtige Ungleichungen.- 33.2 Konstruktion eines Differenzenverfahrens fur das Dirichletproblem.- 33.3 Ein Differenzenverfahren fur die Wellengleichung in mehreren Raumvariablen.- 34 Evolutionsgleichungen.- 34.1 Der zeitunabhangige Fall.- 34.2 Der zeitabhangige Fall.- 34.3 Das Verhalten der Stabilitat bei Stoerungen des Verfahrens.- 34.4 Mehrschrittverfahren.- Funktions- und Distributionsraume.
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