Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Fourier-Analysis, Variationsrechnung
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Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Fourier-Analysis, Variationsrechnung
（Höhere Mathematik, 2）
Springer Verlag, c1991, 1997
2., völlig überarbeitete Auflage
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内容説明・目次
内容説明
Dieses zweibandige Lehrbuch uber Hoehere Mathematik hat sich zum Standardwerk in der mathematischen Ausbildung von Ingenieuren entwickelt. Hervorgegangen aus langjahriger Lehrtatigkeit der Autoren an der Technischen Universitat in Munchen, bietet es Studenten technischer Disziplinen eine grundliche Einfuhrung in alle relevanten Themen. Der vorliegende Band ist stark uberarbeitet worden; die zur Prufungsvorbereitung hervorragend geeigneten Rechenschemata sind jetzt noch konkreter und studentenfreundlicher formuliert. Eindrucksvolle Abbildungen sowie praxisbezogene Beispiele verdeutlichen die vorgestellten Konzepte auf anschauliche Weise. Ideal geeignet als Vorlesungsbegleiter, Repetitorium fur Prufungen und Nachschlagewerk in der Praxis.
目次
- 9. Gewoehnliche Differentialgleichungen.- 1. Einfuhrung.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Anfangswertprobleme.- 1.3 Geometrische Bedeutung der DGL 1. Ordnung.- 2. Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Exakte Differentialgleichungen.- 2.2 Trennbare Differentialgleichungen.- 2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.4 Der integrierende Faktor.- 2.5 Integration durch Substitution.- 2.6 Integration durch Differentiation.- Aufgaben.- 3. Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 3.1 Lineare DGLn 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 3.2 Komplexifizierung und die komplexe Exponentialfunktion.- 3.3 Ein Fundamentalsystem fur die homogene lineare DGL.- 3.4 Die Loesungen der inhomogenen DGL.- 3.5 Lineare mechanische Schwingungen.- 3.6 Der RCL-Schwingkreis.- 3.7 Die DGL vom Typ $$y'' = f(x,y')$$.- 3.8 Die DGL vom Typ $$y'' = f(y,y')$$.- Aufgaben.- 4. Existenzsatze.- 4.1 Der Existenz-Satz von Peano.- 4.2 Die L-Bedingung.- 4.3 Approximation durch Picard-Iteration.- 4.4 Die stetige Abhangigkeit der Loesung von den Anfangswerten.- 4.5 Die stetige Abhangigkeit der Loesung von der rechten Seite.- Aufgaben.- 5. Numerische Loesung des Anfangswertproblems 1. Ordnung.- 5.1 Einschrittverfahren.- 5.2 Fehlerabschatzungen.- 5.3 Schrittweitenkontrolle.- Aufgaben.- 6. Die Laplace-Transformation.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Anwendungen.- 6.4 Die Dirac-Deltafunktion.- 6.5 L-Tabelle. Allgemeine Regeln und wichtige Korrespondenzen.- Aufgaben.- 7. Loesung mittels Potenzreihenansatz.- 7.1 Der Potenzreihenansatz.- 7.2 Der modifizierte Ansatz.- 7.3 Die Bessel-DGL.- 7.4 Die Legendre-DGL.- Aufgaben.- 8. DGL-Systeme und DGLn hoeherer Ordnung.- 8.1 Grundsatzliches, Beispiele.- 8.2 Der EE-Satz.- 8.3 Lineare DGL-Systeme, die Grundprinzipien.- 8.4 Lineare DGLn n-ter Ordnung.- Aufgaben.- 9. Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten.- 9.1 Die Schur-Normalform und Hauptvektoren.- 9.2 Die Matrix-Exponentialfunktion.- 9.3 Die allgemeine Loesung, Fundamentalsysteme.- 9.4 Loesungsbasis mit Eigen- und Hauptvektoren.- 9.5 Der Fall n = 2-9.6 Das inhomogene lineare DGL-System.- 9.7 Die Eliminationsmethode.- 9.8 Die homogene lineare DG1 n-ter Ordnung.- 9.9 Die inhomogene lineare DGL n-ter Ordnung.- Aufgaben.- 10. Stabilitat, periodische Loesungen.- 10.1 Autonome Systeme.- 10.2 Ebene autonome Systeme, die Phasen-DGL.- 10.3 Stabilitat.- 10.4 Ausblick: Periodische Loesungen ebener autonomer Systeme.- Aufgaben.- 11. Rand- und Eigenwertprobleme.- 11.1 Einfuhrung.- 11.2 Das lineare RWP fur DGL-Systeme.- 11.3 Das lineare RWP fur DGLn n-ter Ordnung.- 11.4 Eigenwertprobleme (an Beispielen).- 11.5 Das Sturm-Liouville-EWP.- 11.6 Singulare RWP und EWP.- Aufgaben.- 10. Funktionentheorie.- 1. Punktmengen in der komplexen Ebene.- 1.1 Die komplexe Ebene.- 1.2 Gebiete.- 1.3 Randpunkte, Haufungspunkte.- 1.4 Zahlenfolgen.- 1.5 Die Zahlenkugel
- der Punkt ?.- Aufgaben.- 2. Einige elementare Funktionen.- 2.1 Funktionen, Abbildungen.- 2.2 Grenzwerte, Stetigkeit.- 2.3 Die komplexe Exponentialfunktion.- 2.4 Der komplexe Logarithmus.- 2.5 Allgemeine Potenzen.- 2.6 Die trigonometrischen Funktionen.- 2.7 Die hyperbolischen Funktionen.- 2.8 Die Quadratwurzel $$w=\sqrt z$$.- 2.9 n-te Wurzeln.- Aufgaben.- 3. Gebrochen-lineare Funktionen.- 3.1 Die gebrochen-linearen Funktionen oder Moebius-Transformationen.- 3.2 Kreis-, Winkel- und Orientierungstreue.- 3.3 Die 6-Punkte-Formel.- 3.4 Symmetrische Punkte.- Aufgaben.- 4. Potenzreihen.- 4.1 Unendliche Reihen.- 4.2 Potenzreihen.- 4.3 Gleichmassige Konvergenz.- Aufgaben.- 5. Differentiation, analytische Funktionen.- 5.1 Definition und Rechenregeln.- 5.2 Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.- 5.3 Die geometrische Deutung der Ableitung.- 5.4 Die physikalische Deutung der Ableitung: Das komplexe Potential.- Aufgaben.- 6. Integration.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Der Cauchy-Integralsatz.- 6.4 Die Cauchy-Integralformel.- 6.5 Vorgabe von Funktionswerten.- Aufgaben.- 7. Anwendungen der Cauchy-Integralformel.- 7.1 Vorbereitung: Der Trick mit der geometrischen Reihe.- 7.2 Die Taylor-Reihe einer analytischen Funktion.- 7.3 Der Fundamentalsatz der Algebra.- 7.4 Die Mittelwerteigenschaft analytischer Funktionen.- 7.5 Das Maximumprinzip.- Aufgaben.- 8. Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem.- 8.1 Harmonische Funktionen.- 8.2 Die praktische Bestimmung eines komplexen Potentials zu vorgegebener Potentialfunktion.- 8.3 Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen.- 8.4 Das Maximumprinzip fur harmonische Funktionen.- 8.5 Das Dirichlet-Problem.- 8.6 Loesung des Dirichlet-Problems in beliebigen Gebieten.- Aufgaben.- 9. Laurent-Reihen und Singularitaten.- 9.1 Die Laurent-Entwicklung.- 9.2 Methoden der Laurent-Entwicklung.- 9.3 Isolierte Singularitaten.- 9.4 Hebbare Singularitaten.- 9.5 Polstellen.- 9.6 Wesentliche Singularitaten.- 9.7 Anwendung auf Potentialstroemungen.- 9.8 Die z-Transformation.- Aufgaben.- 10. Residuentheorie.- 10.1 Der Residuensatz.- 10.2 Methoden der Residuenberechnung.- 10.3 Beispiele zum Residuensatz.- 10.4 Berechnung reeller Integrale mit dem Residuensatz.- 10.5 Das Null- und Polstellen zahlende Integral.- Aufgaben.- 11. Fourier-Analysis.- 1. Trigonometrische Polynome und Reihen.- 1.1 Periodische Funktionen.- 1.2 Trigonometrische Polynome.- 1.3 Trigonometrische Reihen.- 1.4 Das Fundamentalbeispiel.- 1.5 Aus dem Fundamentalbeispiel abgeleitete Reihen.- Aufgaben.- 2. Fourier-Reihen.- 2.1 Die Fourier-Reihe einer Funktion.- 2.2 Rechenregeln.- 2.3 Die Bessel-Ungleichung.- 2.4 Methoden der Fourier-Entwicklung.- Aufgaben.- 3. Konvergenz der Fourier-Reihe.- 3.1 Vollstandigkeit und Eindeutigkeit.- 3.2 Der Darstellungssatz.- 3.3 Konvergenz im quadratischen Mittel.- 3.4 F-Tabelle. Elementare Fourier-Reihen.- Aufgaben.- 4. Anwendungen (an Beispielen).- 4.1 Periodische Loesungen linearer DGLn mit konstanten Koeffizienten und periodischer rechter Seite.- 4.2 Loesung partieller DGLn durch Trennung der Variablen.- 4.3 Naherungsformeln, Approximation.- 4.4 Harmonische Balance.- 4.5 Aufloesung trigonometrischer Gleichungen.- Aufgaben.- 5. Diskrete Fourier-Analysis.- 5.1 Endliche diskrete Fourier-Transformation (DFT).- 5.2 Schnelle Fourier-Transformation (FFT).- 5.3 Anwendungen.- Aufgaben.- 6. Die Fourier-Transformation.- 6.1 Grundlagen.- 6.2 Rechenregeln.- 6.3 Die Konvergenz und Eindeutigkeit der Fourier-Transformation.- 6.4 Anwendungen.- Aufgaben.- 12. Partielle Differentialgleichungen.- 1. Einfuhrung.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Beispiele.- 1.3 Die lineare PDG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 1.4 Die eindimensionale Wellengleichung.- 1.5 Nebenbedingungen.- Aufgaben.- 2. Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.1 Erganzungen zu autonomen DGL-Systemen: Erste Integrale.- 2.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 2.3 Quasilineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- Aufgaben.- 3. Lineare und quasilineare PDGn 2. Ordnung.- 3.1 Klassifikation.- 3.2 Die Reduktion auf Normalform.- Aufgaben.- 4. Trennung der Variablen.- 4.1 Spezielle Ansatze.- 4.2 Die additive Trennung.- 4.3 Die Trennung der Variablen.- 4.4 Warmeleitung.- 4.5 Die schwingende Saite.- 4.6 Das Dirichlet-Problem.- 4.7 Die schwingende Kreismembran.- 4.8 Fourier-Integral statt Fourier-Reihe.- Aufgaben.- 5 Loesungen mit Laplace- und Fourier-Transformation.- 6. Loesungen mit Green-Funktion.- 6.1 Die Delta-Funktion.- 6.2 Die Deutung von Integralkernen mit ?.- 6.3 Die Loesungsmethode mit Green-Funktionen.- 6.4 Warmeleitung im beidseitig unbegrenzten Stab.- 6.5 Die Wellengleichung.- 6.6 Die Poisson-Gleichung in der Ebene.- 6.7 Ausblick.- 13. Variationsrechnung.- 1. Funktionale und die Gateaux-Variation.- 1.1 Funktionale.- 1.2 Die Gateaux-Variation.- 2. Die Euler-Differentialgleichung fur $$I(y)=\smallint\!_a^b F(x,y,y')dx$$.- 2.1 Vorbereitung.- 2.2 Die Euler-Lagrange-Differentialgleichung.- 2.3 Sonderfalle.- Aufgaben.- 3. Naturliche Randbedingungen, Transversalitatsbedingung.- 1.1 Die naturliche Randbedingung.- 3.2 Die Transversalitatsbedingung.- 3.3 Modifizierte Randbedingungen.- Aufgaben.- 4. Variationsaufgaben mit allgemeineren Funktionalen.- 4.1 Der Integrand enthalt hoehere Ableitungen.- 4.2 Extremalkurven im $$\mathbb{R}^n$$.- Aufgaben.- 5. Variation mit Nebenbedingungen.- 5.1 Allgemeines.- 5.2 Isoperimetrische Probleme.- 5.3 Nebenbedingungen in Gleichungsform.- Aufgaben.- 6. Variationsrechnung mit Funktionen in mehreren Variablen.- 6.1 In der Ebene.- 6.2 Im Raum.- Aufgaben.- 7. Das Wechselspiel Variationsaufgaben - Differentialgleichungen.- 7.1 Allgemeines.- 7.2 Gewoehnliche Differentialgleichungen.- 7.3 Partielle Differentialgleichungen.- Aufgaben.- 8. Direkte Methoden.- 8.1 Die Ritz-Methode.- 8.2 Die Galerkin-Methode.- Aufgaben.- Namen- und Sachverzeichnis.
「Nielsen BookData」 より
