Analysis : ein Lehr- und Arbeitsbuch für Studienanfänger
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Analysis : ein Lehr- und Arbeitsbuch für Studienanfänger
（Mathematik für Physiker und Ingenieure）
Springer-Verlag, 1996
3. Aufl.
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内容説明・目次
内容説明
Dieses Lehr- und Arbeitsbuch bietet dem Studienanfanger aus Physik und Ingenieurwissenschaften, der Praxis im Umgang mit der Mathematik erwerben moechte, durch Darstellung und didaktische Gestaltung wertvolle Hilfestellung bei der Erarbeitung mathematischen Grundwissens. Die Gestaltung des Textes, die den Leser immer wieder anregt, Gedankenschritte selbst zu vollziehen, weiterzufuhren, Verbindungen herzustellen, Rechnungen nachzuvollziehen und die eigenen Kenntnisse zu uberprufen, bietet hier groesstmoegliche Unterstutzung.
Immer wieder werden anwendungsbezogene Beispiele gegeben und ausfuhrlich bearbeitet. Definitionen und Satze sind vollstandig formuliert. Beweise werden nur da weggelassen, wo sie weder dem Verstandnis des Satzes noch dem Einuben bestimmter Schlussweisen oder Begriffe dienen. Bei der Bearbeitung der ca. 250 Aufgaben wird dem Studenten eine gestufte Hilfestellung in Form von Loesungshinweisen und der kompletten Loesung gegeben.
目次
1. Die reellen Zahlen.- 1 Mengen.- 2 Funktionen.- Definitionen und Beispiele.- Die Komposition von Funktionen.- Die Umkehrfunktion.- Bijektive Funktionen.- 3 Die reellen Zahlen.- Die Zahlengerade.- Die arithmetischen Eigenschaften von JR.- Ungleichungen.- Intervalle.- Definition und Eigenschaften der Wurzel.- Der Betrag.- Zusammenfassung.- 2. Vollstandige Induktion.- 1 Beweis durch vollstandige Induktion.- Erklarung des Suinmenzeichens.- 2 Rekursive Definitionen.- 3 n-te Potenz und n-te Wurzel.- Eigenschaften der n-ten Potenz.- Die n-te Wurzel.- Die binomische Formel.- Zusammenfassung.- 3. Die komplexen zahlen.- 1 Definition und Veranschaulichung.- 2 Der Koerper ? der komplexen Zahlen.- Rechengesetze in ?.- IR als Teilmenge von ?.- 3 Realteil, Imaginarteil, Betrag.- Realteil, Imaginarteil, Konjugierte.- Der Betrag.- 4 Die Polarform.- 5 n-te Wurzeln einer komplexen Zahl.- Zusammenfassung.- 4. Reelle und komplexe Funktionen.- 1 Definition der reellen Funktionen und Beispiele.- 2 Monotone Funktionen.- 3 Beispiele aus der Wechselstrom-lehre.- 4 Rechnen mit reellen Funktionen.- 5 Polynome.- Das Horner-Schema.- Nullstellen von Polynomen.- 6 Komplexe Funktionen.- Komplexe Funktionen mit reellen Argumenten.- Zusammenfassung.- 5. Das Supremum.- 1 Schranken, Maximum, Minimum, Supremum, Infimum.- 2 Das Supremumsaxiom.- 3 Eigenschaften von Supremum und Infimum.- 4 Supremum und Maximum bei Funktionen.- 5 Dual-, Dezimal-und Hexadezimal-zahlen.- Zusammenfassung.- 6. Folgen.- 1 Definition.- 2 Monotonie und Beschranktheit.- Beschranktheit.- Monotonie.- Monotone beschrankte Folgen.- 3 Konvergenz und Divergenz.- Konvergenz.- Divergenz.- Rechenregeln fur konvergente Folgen.- Beispiele.- Rekursiv definierte Folgen.- 4 Komplexe Folgen.- Zusammenfassung.- 7. Einfuhrung in die Integralrechnung.- 1 Beispiele.- 2 Obersumme und Untersurame.- 3 Die Definition des Integrals.- 4 Das Riemannsche Integrabilitats-kriterium.- Integrierbarkeit monotoner Funktionen.- 5 Integral als Grenzwert einer Folge.- Das Riemannsche Summen-Kriterium.- 6 Numerische Integration.- Die Rechteckregel.- Die Trapezregel.- Die Simpsonregel.- 7 Eigenschaften des Integrals.- Eigenschaften des Integrals bezug-lich des Integrationsintervalls.- Eigenschaften bezuglich des Inte-granden.- Ungleichungen fur Integrale.- Zusammenfassung.- 8. Reihen.- (Zenon's Paradoxon).- 1 Beispiele.- 2 Konvergente Reihen.- Geometrische Reihen.- Die "Schneeflockenkurve".- Rechenregeln fur konvergente Reihen.- Notwendiges Konvergenzkriterium.- 3 Konvergenzkriterien.- Vergleichskriterien.- Wurzelkriterium.- Quotientenkriterium.- Alternierende Reihen.- 4 Absolut konvergente Reihen.- Zusammenfassung.- 9. Potenzreihen und spezielle Funktionen.- 1 Potenzreihen.- Konvergenz von Potenzreihen.- Zusammenfassung: Potenzreihen als Funktionen.- 2 Exponentialfunktion.- Definition der Exponentialfunktion.- Eigenschaften der Exponentialfunktion.- 3 Sinus und Cosinus.- 4 Hyperbelfunktionen.- Zusammenfassung.- 10. Stetige Funktionen.- 1 Stetigkeit.- Grenzwerte von Funktionen.- Einseitige und uneigentliche Grenzwerte.- Stetige Funktionen.- Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion sind stetig.- Stetig auf [a,b]: Drei Sat6ze.- 2 Anwendung auf spezielle Funktionen.- Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz.- Trigonometrische Funktionen.- 3 Die ?-?-Definition der Stetigkeit und die Lipschitz-Stegigkeit.- 4 Stetigkeit und Integration.- Zusammenfassung.- 11. Differentialrechnung.- 1 Lineare Approximation.- 2 Definition der Differenzierbarkeit.- 3 Differenzierbare Funktionen.- 4 Rechenregeln fur differenzierbare Funktionen.- Summe, Produkt, Quotient.- Die Kettenregel.- Die Ableitung der Umkehrfunktion.- Differenzierbarkeit von Potenzreihen.- 5 Die Ableitung komplexer Funktionen.- 6 Hoehere Ableitungen.- Aufgaben zum Einuben der Diffe-rentiationstechniken.- 7 Beispiele von Differential-gleichungen und Loesungen.- Losung der Schwingungsgleichung durch Potenzreihenansatz.- 8 Der erste Mittelwertsatz.- Lokale Extrema.- Der erste Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- Anwendungen des ersten Mittel-wertSat6zes.- 9 Die Regeln von de L'Hopital.- Zusammenfassung.- 12. Integralrechnung-Integrationstechnik.- 1 Der Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung.- 2 Die Stammfunktion.- 3 Eine andere Formulierung des HauptSat6zes.- 4 Integration zur Loesung einfachster Differentialgleichungen.- 5 Das unbestimmte Integral.- 6 Die Integration komplexer Funktionen.- 7 Integrationsmethoden.- Integranden der Form
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$$.- Partielle Integration.- Substitution.- Eine Umformulierung der Substitu-tionsregel.- Substitution bei bestimmten Inte-gralen.- 8 Separable Differentialgleichungen.- Loesungsmethode.- Merkregel.- Anfangswertprobleme.- 9 Integration rationaler Funktionen.- 1. Schritt: Polynomdivision.- 2. Schritt: Polynomzerlegung.- 3. Schritt: Partialbruchzerlegung.- 4. Schritt: Integration rationaler Funktionen.- Kurze Merkregelsammlung.- Zusammenfassung.- 13. Uneigentliche Integrale.- 1 Unbeschranktes Integrationsintervall.- Integrationsintervall ]- ?,? [.- Konvergenzkriterien.- 2 Unbeschrankter Integrand.- Konvergenzkriterien.- 3 Die Gammafunktion.- 4 Die Laplace-Transformation.- Linearitat und elementare Laplace-Transformationen.- Bemerkungen zum Umkehrproblem.- Transformation von Ableitungen.- Transformation von f(at+/-b).- Verschiebung des Arguments in der Bildfunktion.- Kurze UEbersicht.- Zusammenfassung.- 14. Taylorpolynome und Taylorreihen.- 1 Approximation durch Polynome.- Approximation.- Taylorpolynome.- 2 Restglied.- Restglied nach Taylor.- Anwendung: Funktionswerte berechnen.- Restglied nach Lagrange.- Restglied abschatzen.- Anwendung: Lokale Extrema 2.- 3 Taylorreihen.- Definition.- Ein Gegenbeispiel.- Konvergenz der Taylorreihe.- Beispiel Logarithmus.- Beispiel Arcus-Tangens.- Beispiel Binomische Reihe.- Zusammenfassung.- Loesungen der Aufgaben.
「Nielsen BookData」 より
