The Brownian Motion : A Rigorous but Gentle Introduction for Economists
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The Brownian Motion : A Rigorous but Gentle Introduction for Economists
（Springer texts in business and economics）
Springer, 2019
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注記
Includes bibliographical references and index
This book is an open access publication
収録内容
- Introduction
- Set Theory
- Measures and Probabilities
- Random Variables
- Expectation and Lebesque Integral
- Wiener's Construction of the Brownian motion
- Supplements
- References
- Index
内容説明・目次
内容説明
This open access textbook is the first to provide Business and Economics Ph.D. students with a precise and intuitive introduction to the formal backgrounds of modern financial theory. It explains Brownian motion, random processes, measures, and Lebesgue integrals intuitively, but without sacrificing the necessary mathematical formalism, making them accessible for readers with little or no previous knowledge of the field. It also includes mathematical definitions and the hidden stories behind the terms discussing why the theories are presented in specific ways.
目次
- 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Stochastics in finance theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Precision and intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Purpose of the book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Notation and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Events and sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Measures and probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1 Basic problem of measurement theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 _-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Examples and interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 Definition of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6 Stieltjes measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.7 Dirac measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.8 Null sets and the almost-everywhere property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1 Random variables as functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Random variables as measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Distribution functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5 Expectation and Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1 Definition of expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4 Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5 Conditional expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6 Wiener's construction of the Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.1 Preliminary remark: the space of all paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2 Wiener measure on C"0
- 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 Two definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.4 Neglected properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7 Supplements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.1 Cardinality of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2 Continuity and differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.3 Convergence terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.4 Once again: conditional expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
「Nielsen BookData」 より
