Die innere Geometrie der metrischen Räume
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Die innere Geometrie der metrischen Räume
（Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 105）
Springer, 1961
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Bibliography: p. 509-514
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Description and Table of Contents
Description
Die innere Geometrie einer Flache ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeandert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhangen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begrundet, dass das Produkt der Hauptkrummungsradien einer Flache eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Wahrend man zunachst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all gemeinen Bogenelementes, eine Moeglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD uber Flachen konstanter negativer Krummung und von D. HILBERT uber die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, dass ein grosser Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Grossen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be noetigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermoeglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunachst stand jedoch die Topologie der metrischen Raume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Buchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.
Table of Contents
Erstes Kapitel: Metrische Geometrie und Topologie.- Zweites Kapitel: Stetige Abbildungen.- Drittes Kapitel: Die innere Metrik.- Viertes Kapitel: Theorie der Kurzesten.- Funftes Kapitel: Fundamentalgruppe und UEberlagerungsraume.- Sechstes Kapitel: Existenzsatze fur geodatische Kurven.- Siebentes Kapitel: Theorie der Krummung.- Achtes Kapitel: Das Clifford-Kleinsche Raumformenproblem.- Neuntes Kapitel: Raume der Krummung ? 0.- Zehntes Kapitel: Spharoide und Raume vom elliptischen Typ.- Namen- und Sachverzeichnis.
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