Vorlesungen über Minimalflächen
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Vorlesungen über Minimalflächen
（Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 199）
Springer-Verlag, 1975
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Library, Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University数研
U.S.NIT||2||12126590,
GermanyNIT||2||1||複本2213107 -
Hokkaido University, Library, Graduate School of Science, Faculty of Science and School of Science数学
Germany/N639/2020893837
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Bibliography: p. [710]-765
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Description and Table of Contents
Description
Seit den Anfangen der Theorie der Minimalflachen vor mehr als zwei Jahrhunderten sind viele grosse Geister aller Epochen von ihrem Reize fasziniert worden. Diese Anziehungskraft liegt nicht nur in dem geome trischen Gehalt der Theorie und in ihren inspirierenden Einwirkungen auf die Entwicklung mathematischen Gedankenguts begrundet, sie er klart sich auch durch die in der Mathematik wohl nur selten erreichte Vielschichtigkeit, mit welcher in ihr sowohl experimenteller Augenschein und die Verfolgung konkreter Einzelprobleme als auch die fortschrei tende Abstraktion ursprunglich anschaulicher Begriffe und die Durch schlagskraft allgemein anwendbarer Methoden erfolgreich zum Tragen kommen. Es bestehen innige Zusammenhange mit der lokalen und glo balen Differentialgeometrie, mit der Funktionentheorie, der Variations rechnung und der Theorie partieller Differentialgleichungen und zugleich fruchtbare Beziehungen zu vielen mathematischen Gebieten, so etwa zur Topologie, zur Masstheorie und zur algebraischen Geometrie. Auch der Forscher in anderen Disziplinen, beispielsweise in der Elastizitats theorie, der Stroemungslehre und in allen Gebieten, bei denen die Er scheinung der Kapillaritat eine Rolle spielt, wird von seiner Vertrautheit mit Minimalflachen profitieren. Vor allem aber handelt es sich um eine asthetisch vollkommene Materie. Mit Ausnahme einiger sparlich gehaltenen Andeutungen befasst sich die vorliegende Monographie ausschliesslich mit zweidimensionalen reellen Parameterflachen im dreidimensionalen Euklidischen Raum. Eine solche Begrenzung schien aus Platzgrunden und im Hinblick auf den Wunsch nach Stoffeinheitlichkeit unerlasslich. Der Kritiker kann hier freilich jedes Wort als lastige Einschrankung empfinden, wird aber hoffentlich zugestehen, dass die schoensten Perlen der Theorie dennoch in Erscheinung treten.
Table of Contents
I. Einleitung.- II. Kurven und Flachen.- 1. Kurven.- 2. Flachen.- 3. Differentialgeometrische Flachen.- 4. Minimalflachen.- 5. Spezielle Minimalflachen I.- 5.1. Kettenflache, Wendelflache, Schraubenflache, Scherksche Flache.- 5.2. Minimalflachen der Form f(x) + g(y) + h(z) = 0.- 5.3. Die Ennepersche Minimalflache.- 5.4. Zyklische Minimalflachen.- 6. Die zweite Variation des Flacheninhaltes.- III. Konforme Abbildung von Minimalflachen.- 1. Konforme Abbildung offener nichtparametrischer Flachen.- 1.1. Konforme Abbildung im Kleinen. Eigenschaften der Loesungen der Minimalflachengleichung.- 1.2. Konforme Abbildung im Grossen.- 1.3. Funktionentheoretische Hilfssatze.- 1.4. Das asymptotische Verhalten der Loesungen der Minimalflachengleichung.- 2. Konforme Abbildung offener parametrischer Minimalflachen.- 2.1. Allgemeine Satze.- 2.2. Spezielle Minimalflachen II. Die Flachen von Catalan, Enneper und Henneberg.- 2.3. Die Weierstrass-Enneperschen Darstellungsformeln.- 2.4. Spezielle Minimalflachen III. Verallgemeinerte Scherksche Flachen.- 2.5. Algebraische Minimalflachen.- 2.6. Spezielle Minimalflachen IV. Minimalflachen mit ebenen Krummungslinien.- 2.7. Assoziierte Minimalflachen.- 3. Konforme Abbildung von Minimalflachen, welche von Jordankurven berandet sind.- IV. Hilfssatze der Analysis.- 1. Funktionen der Klasse M.- 2. Flachen der Klasse M.- 3. Eigenschaften harmonischer Funktionen.- 4. Abbildungen mit beschranktem Dirichlet-Integral.- 5. Der topologische Index einer geschlossenen ebenen Kurve.- 6. Das lineare Mass ebener Punktmengen.- 7. Punktmengen verschwindender logarithmischer Kapazitat.- V. Der Fragenkreis des Plateauschen Problems.- 1. Loesung des Plateauschen Problems.- 1.1. Spezielle Minimalflachen V. Die Riemann-Schwarzsche Minimalflache.- 1.2. Historische Vorbemerkungen.- 1.3. Existenzbeweis. Erste Eigenschaften der Loesungen.- 1.4. Die Abstiegsmethode.- 1.5. Das Douglassche und das Shiffmansche Funktional.- 2. Eigenschaften der Loesungen des Plateauschen Problems.- 2.1. Randverhalten.- 2.2. Verzweigungspunkte.- 2.3. Ein- und Mehrdeutigkeit.- 3. Das nichtparametrische Problem.- 4. Existenz instabiler Minimalflachen.- 4.1. Vorbemerkungen.- 4.2. Existenzbeweis.- 4.3. Beispiele.- 5. Das Problem des kleinsten Flacheninhaltes.- 5.1. Minimalflachen mit gemeinsamen Punkten.- 5.2. Zur Frage des absoluten Minimums fur den Flacheninhalt.- 6. Die Struktur der Flachen kleinsten Inhaltes.- 6.1. Fast-konforme Abbildung.- 6.2. UEber die Regularitat der Flachen kleinsten Inhaltes.- VI. Allgemeinere Randwertprobleme.- 1. Historische Vorbemerkungen und UEbersicht.- 2. Minimalflachen mit freiem Rand.- 3. Zweifach zusammenhangende Minimalflachen.- 3.1. Die Ausdehnung zweifach zusammenhangender Minimalflachen.- 3.2. Die Satze von Shiffman.- 3.3. Minimalflachen der Klasse S.- 3.4. Die isoperimetrische Ungleichung.- 4. Das Douglassche Problem im Falle zweier Randkurven.- VII. Die Minimalflachengleichung.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Das Maximumprinzip und seine Folgerungen.- 3. Analytizitat schwacher Loesungen.- 4. A-priori-Abschatzungen.- 5. Die konjugierte Funktion.- 6. Kompaktheitssatze.- 7. Das Dirichletsche Problem und seine Verallgemeinerungen.- 7.1. Der Haarsche Existenzbeweis.- 7.2. Die Perronsche Methode und ihre Anwendungen.- 7.3. Das Dirichletsche Problem bei luckenhaften Randwerten.- 7.4. Das Dirichletsche Problem bei unendlichen Randwerten.- VIII. Vollstandige Minimalflachen.- IX. Lehrsatze und Aufgaben.- 1. Hinweise und Lehrsatze.- 2. Aufgaben.- Anhang. Hinweise zur neuesten Literatur.
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