Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen

著者

• Hurwitz, Adolf
• Courant, Richard
• Röhrl, Helmut

書誌事項

Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen

von Adolf Hurwitz ; herausgegeben und ergänzt durch einen Abschnitt über geometrische Funktionentheorie von R. Courant ; mit einem Anhang von H. Röhrl

（Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 3）

Springer, 1964

4. vermehrte und verbesserte Aufl

• : pbk
• : hbk

注記

Includes bibliographical references and index

内容説明・目次

目次

Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie der Funktionen einer komplexen Veranderlichen.- Erstes Kapitel. Die komplexen Zahlen.- 1. Begriff der komplexen Zahl.- 2. Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen. Satze uber den absoluten Betrag.- 3. Konvergente Zahlenfolgen. Die Zahlenkugel.- 4. Haufungswerte unendlicher Zahlenmengen.- 5. Konvergenz der Reihen mit komplexen Gliedern.- 6. Komplexe Variable und Funktionen derselben.- 7. Gleichmassige Konvergenz.- Zweites Kapitel. Die Potenzreihen.- 1. Konvergenzgebiet einer Potenzreihe.- 2. Bestimmung des Konvergenzradius.- 3. Das Rechnen mit Potenzreihen.- 4. Prinzip der Koeffizientenvergleichung.- 5. Ausdehnung der erhaltenen Satze.- 6. Die Umbildungen einer Potenzreihe.- 7. Die Ableitungen einer Potenzreihe.- 8. Unmittelbare Fortsetzungen einer Potenzreihe.- 9. Laurentsche Reihen. Ein Hilfssatz uber Potenzreihen.- Drittes Kapitel. Der Begriff der analytischen Funktion.- 1. Monogene Systeme von Potenzreihen.- 2. Definition der analytischen Funktion.- 3. Eindeutige Zweige einer analytischen Funktion.- 4. Beispiele.- 5. Die Elementarzweige und ihre singularen Punkte.- 6. Der Fundamentalsatz der Algebra.- 7. Singulare Punkte einer analytischen Funktion.- 8. Die singularen Stellen der ganzen und der rationalen Funktionen.- 9. Einige allgemeine Satze uber analytische Funktionen.- 10. Der Weierstrasssche Summensatz.- Viertes Kapitel. Untersuchung einiger spezieller analytischer Funktionen.- 1. Die Exponentialfunktion.- 2. Die trigonometrischen Funktionen.- 3. Der Logarithmus.- 4. Die allgemeine Potenz.- Funftes Kapitel. Die Integration analytischer Funktionen.- 1. Gleichmassige Stetigkeit und Differenzierbarkeit analytischer Funktionen.- 2. Integration der Potenzreihen.- 3. Integration der Ableitung einer regularen Funktion.- 4. Beispiele.- 5. Integration regularer Funktionen.- 6. Der Satz von Cauchy.- 7. Folgerungen aus dem Satz von Cauchy. Der Satz von Laurent.- 8. Die Resuiden der analytischen Funktionen.- 9. Bestimmung der Null-und Unendlichkeitsstellen einer Funktion.- Sechstes Kapitel. Die meromorphen Funktionen.- 1. Begriff der meromorphen Funktion.- 2. Die meromorphen Funktionen mit endlich vielen Polen.- 3. Die meromorphen Funktionen mit unendlich vielen Polen. Der Mittag-Lefflersche Satz.- 4. Allgemeiner Ausdruck einer meromorphen Funktion mit unendlich vielen Polen.- 5. Der Fall einfacher Pole.- 6. Beispiele.- 7. Cauchys Methode der Partialbruchzerlegung.- 8. Beispiele.- 9. Ganze Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen.- 10. Darstellung der meromorphen Funktionen durch ganze Funktionen.- 11. Die Produktdarstellung der Gammafunktion.- 12. Die Integraldarstellung der Gammafunktion.- Siebentes Kapitel. Die Umkehrung der analytischen Funktionen.- 1. Umkehrung der Potenzreihen.- 2. Beispiele.- Zweiter Abschnitt. Elliptische Funktionen.- Erstes Kapitel. Die doppeltperiodischen meromorphen Funktionen.- 1. Zur geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen.- 2. Satze uber die Perioden einer meromorphen Funktion.- 3. Das Periodenparallelogramm.- 4. Definition der elliptischen Funktionen. Der Koerper K.- 5. Allgemeine Satze uber die Funktionen f (u).- 6. Die Funktion ? (u).- 7. Die Differentialgleichung von ? (u).- 8. Das Additionstheorem von ? (u).- 9. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die ?-Funktion.- 10. Weitere Eigenschaften der Funktionen f (u).- 11. Die Funktion ? (u).- 12. Darstellung der elliptischen Funktionen durch ? (w).- 13. Die Funktion ? (u).- 14. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die Funktion ? (u).- 15. Die Funktionen ? (u), ? (u), ? (u) als Funktionen von u, ?l, ?2.- Tabellarische UEbersicht zum 1. Kapitel.- Zweites Kapitel. Die Theta-Funktionen.- 1. Darstellung ganzer Funktionen mit einer gegebenen Periode.- 2. Bezeichnungen.- 3. Die Funktion ?1(v).- 4. Die Funktionen ?1(u), ?2(u), ?3(u).- 5. Die Funktionen ?2(v),?3(v),?0(v).- 6. Zusammenstellung.- 7. Zusammenfassende Darstellung der ?-Funktionen. Die ?-Funktionen als Funktionen von v und ?.- 8. Verwandlungsformeln und Nullstellen der vier ?-Funktionen.- 9. Darstellung von e1, e2, e3 und ? durch die Nullwerte der ?.- 10. Darstellung der ?-Funktionen durch unendliche Produkte.- 11. Einige zahlentheoretische Anwendungen der erhaltenen Resultate.- 12. Partialbruchzerlegungen von ? (u) und ? (u) als Funktionen von z2. Darstellungen von ?, g2, g3.- 13. Entwicklung von ??(u) - ek.- Drittes Kapitel. Die elliptischen Funktionen Jacobis.- 1. Definition der Funktionen s(u), c(u), ? (u).- 2. Die Funktionen s (u), c(u), ? (u) als elliptische Funktionen.- 3. Die Differentialgleichungen von s (u), c(u), ? (u).- 4. Die Additionstheoreme von s (u), c(u), ? (u).- 5. Die trigonometrischen Funktionen als Grenzfalle der Funktionen s(u), c(u), ?(u).- Viertes Kapitel. Die elliptischen Modulfunktionen.- 1. AEquivalenz der Groessenpaare und der Groessen.- 2. Die elementaren Modulformen.- 3. Die absolute Invariante J (?).- 4. Aufloesung der Gleichungen g2(?1, ?2) = a2, g3(?1, ?2) = a2.- 5. Die Funktion ?2(?).- Funftes Kapitel. Elliptische Gebilde.- 1. Das Weierstrasssche Gebilde.- 2. Das Gebilde y2 = G3(x).- 3. Das Gebilde y2 = G4(x).- 4. Das Legendresche Gebude.- 5. Die Hauptform der Riemannschen Flache des Gebildes y2- G4(x).- 6. Die zweiblattrige Form der Riemannschen Flache von y2 = G4(x).- Sechstes Kapitel. Elliptische Integrale.- 1. Definitionen.- 2. Die unbestimmten elliptischen Integrale.- 3. Die bestimmten elliptischen Integrale.- Siebentes Kapitel. Die Transformation der elliptischen Funktionen.- 1. Lineare Transformation der Weierstrassschen Funktionen.- 2. Lineare Transformation der ?-Funktionen.- 3. Transformation zweiter Ordnung.- 4. Zusammenhang zwischen den Weierstrassschen und den Jacobischen elliptischen Funktionen.- 5. Die Landensche Transformation.- 6. Das arithmetisch-geometrische Mittel.- Dritter Abschnitt. Geometrische Funktionentheorie.- Erstes Kapitel Vorbereitende Betrachungen.- 1. Komplexe Zahlen.- 2. Geometrische Grundbegriffe.- 3. Kurvenintegrale.- Zweites Kapitel. Die Grundlagen der Theorie der meromorphen Funktionen.- 1. Die Forderung der Differenzierbarkeit.- 2. Die inverse Funktion.- 3. Das bestimmte Integral einer holomorphen Funktion und seine Grenzeigenschaften.- 4. Der Cauchysche Integralsatz.- 5. Integrale in mehrfach zusammenhangenden Bereichen. Der Cauchysche Residuensatz.- 6. Beispiele. Elementare Funktionen.- 7. Die Cauchysche Integralformel.- 8. Konforme Abbildung.- Drittes Kapitel. Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel.- 1. Die Taylorsche und Laurentsche Reihe.- 2. Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes und Residuensatzes.- 3. Der Satz vom arithmetischen Mittel. Prinzip vom Maximum und Schwarzsches Lemma.- 4. Abschatzungsformeln. Satz von Liouville.- 5. Gleichmassige Konvergenz. Ein Konvergenzsatz von Weierstrass.- 6. Das Haufungsstellenprinzip fur holomorphe Funktionen.- 7. Zusammenhang mit der Potentialtheorie.- 8. Darstellung der holomorphen Funktionen und der Potentialfunktionen durch das Poissonsche Integral.- 9. Folgerungen.- 10. Loesung der Randwertaufgabe der Potentialtheorie fur den Kreis.- 11. Die Randwerte einer holomorphen Funktion.- 12. Stroemungen.- Viertes Kapitel. Spezielle Funktionen und ihre Singularitaten.- 1. Singularitaten und Kreuzungspunkte.- 2. Veranschaulichung der einfachsten Singularitaten und Kreuzungspunkte.- 3. Lineare Funktionen.- 4. Die Funktion ? = zn.- 5. Die Funktion ? = 1/2 (z + 1/z).- 6. Logarithmus und Exponentialfunktion.- 7. Die trigonometrischen Funktionen.- 8. Potenzen mit beliebigem Exponenten. Kreisbogenzweiecke.- 9. Anhang. Raumgeometrische Deutung der linearen Substitutionen.- Funftes Kapitel. Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flachen.- 1. Allgemeines uber analytische Fortsetzung.- 2. Das Prinzip der Stetigkeit und das Spiegelungsprinzip.- 3. Der Gesamtverlauf der meromorphen Funktionen und ihre Riemannschen Flachen.- 4. Die algebraischen Funktionen.- Sechstes Kapitel. Die konforme Abbildung einfach zusammenhangender schlichter Gebiete.- 1. Vorbemerkungen und Hilfssatze.- 2. Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes.- 3. Der Eindeutigkeitssatz.- 4. Randerzuordnung bei konformer Abbildung.- 5. Die Greensche Funktion und die Randwertaufgabe der Potentialtheorie.- 6. Das alternierende Verfahren. Stetigkeitseigenschaften der Abbildungsfunktionen.- 7. Verzerrungssatze.- 8. Anwendungen des Prinzips vom Maximum.- Siebentes Kapitel. Spezielle Abbildungsfunktionen.- 1. Die allgemeine Potenzabbildung.- 2. Die Funktionen des geradlinigen Dreiecks.- 3. Abbildung des Rechteckes. Elliptische Funktionen.- 4. Modulfunktionen und automorphe Funktionen.- 5. Der Picardsche Satz.- 6. Anderer Beweis des Picardschen Satzes. Die Satze von Schottky und Landau.- 7. Die Abbildungsfunktionen von Kreisbogenpolygonen als Loesungen von Differentialgleichungen.- Achtes Kapitel. Die Verallgemeinerung des Riemannschen Abbildungssatzes. Das Dirichletsche Prinzip.- 1. Heuristische Betrachtungen.- 2. Das Dirichletsche Integral und die Greensche Formel.- 3. Das Dirichletsche Prinzip.- 4. Erweiterte Fassung des Problems.- 5. Randwertaufgabe und Minimumprinzip fur den Kreis.- 6. Hilfssatze.- 7. Loesung des Minimumproblems.- 8. Harmonische Funktionen mit gegebenen Singularitaten.- 9. Die konforme Abbildung auf Schlitzbereiche.- 10. Die eindeutige Bestimmtheit der Schlitzabbildung.- Neuntes Kapitel. Weitere Existenztheoreme der Funktionentheorie.- 1. Die Topologie der kompakten Riemannschen Flachen.- Anhang zu 1. Die Moeglichkeit der kanonischen Zerschneidung.- 2. Abelsche Integrale und meromorphe Funktionen auf einer gegebenen Riemannschen Flache.- 3. Die Existenz automorpher Funktionen mit gegebenem Fundamentalbereich.- 4. Die Uniformisierung der algebraischen und meromorphen Funktionen durch automorphe Funktionen mit Grenzkreis.- 5. Die konforme Abbildung schlichtartiger Bereiche auf Kreisbereiche. Das Ruckkehrschnitt-Theorem.- 6. Die Moduln eines schlichtartigen Bereiches.- 7. Riemannsche Flachen und Flachen im dreidimensionalen Zahlenraum.- 8. Historische Angaben zu den letzten Kapiteln.- Einleitende Bemerkungen.- Erstes Kapitel. Weitere Abbildungstheoreme der Funktionentheorie.- 1. Primenden und konforme Abbildung.- 2. Randkomponenten und Schlitzabbildung.- 3. Konforme Selbstabbildungen Riemannscher Flachen.- 4. Fuchssche Gruppen.- 5. Moduln von Vierecken und Ringgebieten.- 6. Quasikonforme Abbildungen.- 7. Extremale quasikonforme Abbildungen.- Zweites Kapitel. Holomorphe und meromorphe Funktionen auf Riemannschen Flachen.- 1. Partialbruchzerlegung auf kompakten Riemannschen Flachen.- 2. Der Riemann-Rochsche Satz.- 3. Die Cauchyschen Integralformeln auf kompakten Riemannschen Flachen.- 4. Holomorphe Vektorraumbundel und C-Prinzipalbundel.- 5. Meromorphe Schnitte in holomorphen Geradenbundeln und C-Prinzipal-bundeln uber kompakten Riemannschen Flachen.- 6. Topologische Eigenschaften nicht kompakter Riemannscher Flachen..- 7. Der Rungesche Approximationssatz.- 8. Holomorphe Geradenbundel und C-Prinzipalbundel uber nicht kompakten Riemannschen Flachen.- 9. Automorphe Funktionen.- Namen- und Sachverzeichnis.

「Nielsen BookData」 より

詳細情報

• NII書誌ID(NCID): BA10639524
• ISBN:
  • 9783642493799
• LCCN: 64022394
• 出版国コード: gw
• タイトル言語コード: ger
• 本文言語コード: ger
• 出版地: Berlin
• ページ数/冊数: xiii, 706 p.
• 大きさ: 24 cm
• 分類:
  • NDC8 : 412.5
• 親書誌ID:
  • BA00007422